Cómo es la primera columna de la matriz ortogonal a todos los demás

Question

$$ \mathbf{X}_{n\times(r+1)} = \begin{bmatrix} 1 & (x_{11}-\bar x_1) &\cdots & (x_{1r}-\bar x_r) \\ 1 &(x_{21}-\bar x_1) &\cdots & (x_{2r}-\bar x_r) \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ 1 &(x_{n1}-\bar x_1) &\cdots & (x_{nr}-\bar x_r) \\ \end{bmatrix} $$

La primera columna se supone debe ser ortogonal a todos los demás, pero no puedo ver por qué esto es cierto.

Answer 1

La prueba de ortogonalidad es el producto escalar. La columna de no cambiar cualquiera de los valores en las otras columnas. Así que se quedan con la suma de la distancia de cada punto en cualquiera de las restantes columnas de la media de la columna, que es cero por definición.

$$\begin{bmatrix}1&1\cdots&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}(X_{11}−\bar{X}_1)\\(X_{12}−\bar{X}_1)\\\vdots\\(X_{1n}−\bar{X}_1)\end{bmatrix}= \sum_{i=1}^{n}(X_{1i}−\bar{X}_1) = n\,(\bar{X}_{1} -\bar{X}_{1})=0 $$

Ya, $$\sum_{i=1}^{n}(X_{1i})=n\bar{X}_{1}.$$

Mismo con las otras columnas.

Answer 2

Dos vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ se dice que son ortogonales iff $$ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0 $$ Si usted hace esto producto interior $r$ veces con $\mathbf{v}$ columna 1, y $\mathbf{u}$ de columnas $2, ..., r+1 $, respectivamente, sólo tienes que agregar la columna de los elementos. La ortogonalidad de la siguiente manera a partir de las propiedades de la media aritmética. Si usted recuerda, en su segunda propiedad es que la suma de las desviaciones de la muestra de la media es cero.

Prueba Deje $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)'$ ser observada de la muestra de la investigación.v. $X$ y deje $\bar{x} = n^{-1} \mathbf{x}'\boldsymbol 1$ será la media de la muestra. Entonces $$ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = n \bar{x} - n \bar{x} = 0$$

En el caso de que usted acaba de tener muestras $\mathbf{x}_1 = (x_{11}, \dots, x_{n1})', \dots, \mathbf{x}_r = (x_{1r}, \dots, x_{nr})'$ y los correspondientes medios se $\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_r $. Puede aplicar la misma propiedad, teniendo cuidado de agregar la muestra subíndice:

$$ \sum_{i=1}^n (x_{ij} - \bar{x}_j) = n \bar{x}_j - n \bar{x}_j = 0 \qquad j=1,\dots, r.$$

Voy a cambiar la notación de la pregunta para hacerla más clara. Esperamos que esto sea útil!