¿Es posible que $\ker(T) = \operatorname{im}(T)$ para alguna transformación lineal $T:V \to V$ ?

Question

La ayuda sería muy apreciada.

Es posible que $\ker(T) = \operatorname{im}(T)$ para alguna transformación lineal $T:V \to V$ ?

Answer 1

Considere la transformación lineal $T : \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ para que: $$T(x, y) = (y, 0)$$

Lo tenemos: $$\ker T = \{(x, 0) : x \in \Bbb R\} = \operatorname{im} T$$

Llegué a este ejemplo al notar que tal transformación lineal debe tener $T^2 = 0$ .

Answer 2

Desde $\dim \operatorname{ker} T + \dim \operatorname{im} T = n$ Debemos tener $n=2k$ .

Ahora, tome cualquier base de $V$ , digamos que $v_i$

Definir $T(v_i) = v_{k+i}$ para $i=1$ a $k$ y $T(v_i) = 0$ para $i=k+1$ a $2k$ . Extienda esto como un funcional lineal a $V$ . Entonces, $\operatorname{im} V = \operatorname{ker} V$ .

Answer 3

Será posible si $\dim(V)$ es incluso porque $\dim(T)+\mathrm{null}(T)=\dim(V)$ así que $\dim(V)=2\dim(T)$

Y entonces tendrás, por ejemplo, $2n$ base para $V$ como $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1},\ldots,\alpha_{2n}\}$ .

Por cada $T$ que mapea $n$ elementos de base arbitrarios de $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\alpha_{n+1},\ldots,\alpha_{2n}\}$ a cero y mapea los otros (sigue siendo base ) a la primera $n$ elementos de base, será nuestra respuesta.