¿Generalizar la identidad de la suma de cubos de Ramanujan?

Question

Identidad de la suma de cubos de Ramanujan está definida por las funciones generadoras,

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n &= \frac{1+53x+9x^2}{R_1}\\ \sum_{n=0}^\infty b_n x^n &= \frac{2-26x-12x^2}{R_1}\\ \sum_{n=0}^\infty c_n x^n &= \frac{2+8x-10x^2}{R_1}\\ d_n &= (-1)^n \end{aligned}\tag{1}$$

(corrigiendo una pequeña errata en Mathworld), donde $R_1 = 1-82x-82x^2+x^3$ entonces,

$$a_n^3+b_n^3 = c_n^3 + (-1)^n\tag{2}$$

Resulta que el $a_n, b_n, c_n, d_n$ también puede expresarse como,

$$\begin{aligned} a_n &=-9p^2+176pq-851q^2 = 1,135,11151,\dots\\ b_n &=4(3p^2-56pq+263q^2) = 2,138,11468,\dots\\ c_n &=2(5p^2-90pq+409q^2) = 2,172,14258,\dots\\ d_n &= -(p^2-85q^2) = 1, -1,1,-1\dots \end{aligned}\tag{3}$$

y { $p,q$ } se eligen para satisfacer la ecuación de Pell $p^2-85q^2 =\mp 1$ . (En realidad, $p,q$ son semienteros ya que se puede utilizar $p^2-85q^2 =\mp 4$ .) Ramanujan falló usando { $p,-q$ } que da lugar a la diferente,

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n &= \frac{9+53x+x^2}{R_1}\\ \sum_{n=0}^\infty b_n x^n &= \frac{-12-26x+2x^2}{R_1}\\ \sum_{n=0}^\infty c_n x^n &= \frac{-10+8x+2x^2}{R_1} \end{aligned}\tag{4}$$

con el mismo $R_1$ . Pero hay un infinito número de parametrizaciones cuadráticas a (2) dadas por,

$$(ax^2-v_1xy+bwy^2)^3 + (bx^2+v_1xy+awy^2)^3 + (cx^2+v_2xy+dwy^2)^3 + (dx^2-v_2xy+cwy^2)^3 = (a^3+b^3+c^3+d^3)(x^2+wy^2)^3\tag{5}$$

y { $v_1,\, v_2,\, w$ } = { $c^2-d^2,\; a^2-b^2,\; (a+b)(c+d)$ }. Por ejemplo, utilizando { $a,b,c,d$ } = { $6,-9,8,1$ }, y modificando (5) con una simple transformación lineal para que el último término se transforme de $x^2-45xy+216y^2$ a $p^2-321q^2$ rendimientos,

$$\begin{aligned} a_n &=3(3p^2-104pq+909q^2) = 3753, 693875529,\dots\\ b_n &=-2(4p^2-135pq+1119q^2) = 4528, 837313192,\dots\\ c_n &=6(p^2-37pq+348q^2) = 5262, 972979926,\dots\\ d_n &=p^2-321q^2 = 1,1,1,\dots \end{aligned}\tag{6}$$

y { $p,q$ } elegido para satisfacer $p^2-321q^2 = 1$ . Con unos pocos términos más, Mathematica Función generadora comando fue capaz de encontrar,

$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n &= \frac{-9(417-5602x+x^2)}{R_2}\\ \sum_{n=0}^\infty b_n x^n &= \frac{8(-566-11315x+x^2)}{R_2}\\ \sum_{n=0}^\infty c_n x^n &= \frac{-6(877+6898x+x^2)}{R_2} \end{aligned}\tag{7}$$

donde $R_2 = -1+184899x-184899x^2+x^3$ y,

$$a_n^3+b_n^3 = c_n^3 + 1$$

por tanto una identidad de suma de cubos análoga a la de Ramanujan. (Utilizando { $p,-q$ } dará lugar a la segunda familia).

Pregunta : Partiendo de un { $a,b,c,d$ }, especialmente la forma { $a,b,c,\pm1$ }, y utilizando la parametrización cuadrática (5) en la que un término se ha igualado a $\pm1$ ¿es siempre posible encontrar una función generadora análoga a (1)? (He probado con varios { $a,b,c,d$ } y parece que siempre es así, pero se me escapa una prueba general). Véase también el artículo de Rowlands aquí .

Answer 1

Sí, es cierto. Como en tu ejemplo, necesitas empezar con enteros $x,y$ tal que el último término del LHS de (5) es $dx^2+v_2xy+cwy^2=\pm1$ . Haga un cambio de variables para eliminar el $xy$ (es decir, "completar el cuadrado"), lo que da lugar a una ecuación de la forma $p^2-Dq^2=1$ . En $D$ es un no cuadrado positivo, esto dice que el elemento $p+q\sqrt{D}$ de $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ tiene norma $1$ . Pero es clásico anotar todos los elementos de norma $1$ son $\pm u^n$ donde $n\in\mathbb{Z}$ y $u$ es el elemento más pequeño de $\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$ tal que $N(u)=1$ y $u>1$ . Diga $$ p+q\sqrt{D} = u^n $$ (el caso de $-u^n$ funciona exactamente igual). A continuación, $p-q\sqrt{D} = 1/u^n$ Así que $$ p=\frac{u^n+u^{-n}}2 \quad\text{ and }\quad q=\frac{u^n-u^{-n}}{2\sqrt{D}}. $$ Consideremos sólo valores no negativos de $n$ y escribe $p_n$ y $q_n$ para las expresiones anteriores. A continuación, los valores correspondientes de $x$ y $y$ (llámalos $x_n$ y $y_n$ ) son combinaciones lineales de $p_n$ y $q_n$ y, por tanto, de $u^n$ y $u^{-n}$ . Escribir, por ejemplo, $a_n=ax_n^2−v_1x_ny_n+bwy_n^2$ para el valor del primer número que estás cubicando, se deduce que $a_n$ es una combinación lineal de $u^{2n}$ , $1$ et $u^{-2n}$ . Por lo tanto $$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ es una combinación lineal de $$ \sum_{n=0}^\infty u^{2n} x^n,\quad \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad\text{and}\quad\sum_{n=0}^\infty u^{-2n} x^n, $$ o equivalentemente de $$ \frac{1}{1-u^2 x},\quad \frac{1}{1-x},\quad\text{and}\quad\frac{1}{1-u^{-2}x}. $$ Por tanto, la función generadora de $a_n$ es una función racional, y podríamos hacer lo mismo para $b_n$ y $c_n$ para obtener un resultado similar al de Ramanujan.