Las estadísticas suficientes para $\mu_1 - \mu_2$

Question

Si $ X_1, ..., X_n$ es una muestra aleatoria de $ X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$ $Y_1,..., Y_n$ es una muestra aleatoria de $Y \sim N(\mu_2, \sigma^2),$ si las muestras son independientes y $ \sigma^2$ es conocida, podemos decir que el $\bar{X}-\bar{Y}$ es suficiente para $\mu_1 - \mu_2$ ?

Mi conjetura es que es verdad. Pensé que podríamos definir

$$W_i=X_i-Y_i \sim N(\mu_1 - \mu_2, 2 \sigma^2)$$

n variables aleatorias independientes y se usa para mostrar que el $\bar{W} = \bar{X} - \bar{Y} $ es suficiente para la media. Es eso correcto?

Gracias

Answer 1

Podemos mostrar cómo el pdf de la diferencia de distribución parece. Posteriormente, utilice el teorema de la factorización de demostrar la suficiencia.