De infinitas dimensiones Newlander-Nirenberg teorema de

Question

El Newlander-Nirenberg teorema establece que en casi una compleja estructura es integrable si y sólo si el Nijenhuis tensor se desvanece. He oído que esta afirmación no es cierta en dimensiones infinitas, ya que por ejemplo el Bucle espacio de Riemann 3-colector es contraejemplo. (De hecho, creo que NN falla por Fréchet colectores en general(?)) Así que mi pregunta es:

Es el Newlander Nirenberg teorema válido para Banach - o Hilbertmanifolds? Si no, es posible debilitar la declaración (o algunas condiciones en la que sigue siendo cierto para algunos de la clase de infinitas dimensiones colectores?

EDIT: Añadido la etiqueta "problema", ya que NN para Hilbertmanifolds parece ser un problema abierto.

Answer 1

Como tengo entendido, en un papel de Petyi [En la ∂-ecuación en un espacio de Banach. Bull. Soc. De matemáticas. Francia 128 (2000), no. 3, 391-406.] está demostrado que el NN teorema no se cumple para Banach colectores en general. Sin embargo, como ustedes saben, el NN teorema tiene una fácil prueba cuando el casi compleja estructura se supone que para ser real analítica. En este caso, el NN teorema es una sencilla consecuencia del teorema de Frobenius, lo cual es cierto para Banach colectores (referencia? Smale?). Hay un papel por Daniel Beltita [http://arxiv.org/abs/math/0407395] en la que se confirma que NN es cierto, en este real analítica caso. Sería interesante ver exactamente donde NN prueba se rompe para colectores de Banach, y exactamente lo que uno debe asumir para permitir a ir a través de. Pero yo no soy consciente de que cualquier trabajo detallado.