Cómo puedo probar $\underbrace{\int \ldots \int}_{n} |x| dx = \frac{x^n |x|}{n+1}+C$?

Question

Así que yo estaba aburrido y decidió averiguar la integral indefinida de la función valor absoluto, $|x|$. Usando integración por partes ($u=|x|, dv=dx$, $dx = \text{sgn}(x)=\frac{|x|}{x}$), se puede demostrar que $\displaystyle\int |x| dx = \frac{x |x|}{2}+C$.

Ahora me decidí a tomar la integral de nuevo, encontrando que $\displaystyle\int\left(\int |x| dx \right) dx=\frac{x^2 |x|}{3}+C$. Continuando, encontré el patrón en el título, que el $n$th integral indefinida de $|x|$$\displaystyle\frac{x^n |x|}{n+1}+C$. Es allí una manera de demostrar este resultado general?

Answer 1

Sí, hay una manera: Use inducción Matemática. No añado más detalles porque creo que es elemental, ¿no?

Answer 2

Hacer la observación de que $|x| = \theta(x) x - \theta(-x) x$ para todos los verdaderos $x$ donde $\theta$ es la función de Heaviside (evaluación de a $1$ si el argumento es positivo y $0$ lo contrario). Se sabe que \begin{eqnarray} \int \theta(x) \ x \ dx = \theta(x) \frac{x^{2}}{2} + C \quad \text{and} \quad \int \theta(-x) \ x \ dx = \theta(-x) \frac{x^{2}}{2} + C^{\prime}, \end{eqnarray} donde $C$ $C^{\prime}$ son constantes de integración. La identidad de $n = 1$ sigue por la sustracción y la representación de $|x|$ por encima. Con $n$ integraciones, tenemos \begin{eqnarray} \int \cdots \int |x| \ dx = \theta(x) \int \cdots \int x \ dx - \theta(-x) \int \cdots \int x \ dx = \frac{|x| x^{n}}{(n+1)!} + P_{n}, \end{eqnarray} donde $P_{n}$ es un polinomio en a $x$, como se reivindica.

Answer 3

El $C$ en el título de esta pregunta debe ser reemplazado por un polinomio arbitrario $p(x)$ grado $\le n-1$. Después de todo, estamos hablando de un $n$veces integración de aquí.