Lo que puede ser calculado por el axioma de totalización?

Question

Aquí hay tres propiedades simples que uno puede requerir de un método de la sumación de divergente la serie:

• Una estable suma esquema es uno en el que (suponiendo que también cada una de las sumas de dinero se define si el otro es) $$\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + \sum_{n=1}^\infty a_{n+1}$$
• Un lineal de un satisface (siempre que el lado derecho es definido) $$\sum_{n=1}^\infty (\kappa a_n+b_n) = \kappa\sum_{n=1}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n$$(Edit: Added $\kappa$, que era el olvido.)
• Un regular uno está de acuerdo con la normal de la suma cuando ambos están definidos. (Es decir, si uno tiene una serie convergente, que se le da su valor normal por el método de la sumación.)

Si se supone que estas reglas, ¿qué clase de serie puede ser calculada? Suena a que debe ser el conjunto de series que se diferencian por una serie convergente de otro que es periódica hasta reescalado; es decir $a_n = c_n + k^n p_n$ donde $\sum c_n$ es convergente y $p_{n+m} = p_n$ algunos $m$. Es eso correcto? (Edit: Evidentemente, este supongo que debería haber sido $c_n + \sum_{i=1}^M k_{(i)}^n p_{(i) n}$, gracias Karene. Además, ya era consciente del problema que da estabilidad contradicciones, por ejemplo, $1+1+\cdots$ así que mi conjetura debe tener también refleja que.)

Dado un específico arbitraria de la serie no de esta forma, uno puede realmente/necesariamente (a) encontrar dos estable, lineal, regular suma de los esquemas para que la suma está definida, pero de la que podemos obtener distintos resultados; o (b) demostrar que no hay tal esquema puede definir un valor para la suma? (Motivación: pura curiosidad.)

Answer 1

Parece que el siguiente.

Una suma lineal esquema es un operador lineal sobre un subespacio del espacio lineal $\mathcal S$ de todas las series. La continuidad de una suma esquema no es necesario, por lo que esta es una cuestión principalmente de álgebra lineal, no de análisis real.

En todas partes por debajo de $\Sigma$ deberá ser estable, lineal y regular de suma esquema definido en un subespacio $\mathcal S_\Sigma$ del espacio lineal $\mathcal S$. Claramente, $\mathcal S_\Sigma$ es un buen subespacio del espacio de $\mathcal S$, porque en el caso contrario tendríamos $\Sigma 1=1+\Sigma 1$ donde $1=\{1\}_n$ es una constante de la secuencia. Del mismo modo podemos demostrar que si $a$ es una eventual periódico de la serie y $\Sigma a$ se define a continuación, los miembros de un (finito) periódicos parte de $a$ debe sumar un cero.

Por otra parte, $\Sigma$ puede tener contra intuitivo propiedades. Por ejemplo, si $\{q^{n-1}\}\in \mathcal S_\Sigma $ es una serie geométrica, a continuación,$\Sigma \{q^{n-1}\}=1+q\Sigma \{q^{n-1}\}$$\Sigma \{q^{n-1}\}=\frac 1{1-q}$. En particular, $\Sigma \{2^{n-1}\}=-1$.

Deje $\mathcal C$ ser un espacio lineal de todos los convergente la serie y $\Pi:\mathcal S\to \mathcal S/\mathcal C$ ser el cociente homomorphism. Siguiente Karene, me indican por $S(a_1,a_2,\dots):=(0,a_1,a_2, \dots)$ unilateral operador de desplazamiento en el espacio $\mathcal S$. Desde $\mathcal C$ es un subespacio invariante de que el operador $S$, existe un operador lineal $S'$ en el cociente del espacio de $\mathcal S/\mathcal C$ tal que $\Pi S'=S\Pi$. Para una arbitraria de la serie $a\in\mathcal S$ puesto $\mathcal C(a)=\langle \mathcal C\cup \{S^k(a):k$ es un entero no negativo,$\} \rangle$$\mathcal C'(a)=\Pi\mathcal C(a)$. El espacio de $\mathcal C'(a)$ es invariante para el operador $S'$. Si el espacio de $\mathcal C'(a)$ es finitely dimensiones (que es, al $\mathcal C$ es un subespacio lineal finito de codimension en $\mathcal C(a)$), a continuación, el operador $S'|\mathcal C'(a)$ tiene un mínimo polinomio que se denota como $p_a$.

Conjetura 1. Deje $a\in\mathcal S$ ser una serie. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Una suma $\Sigma a$ está determinado por los axiomas.

2. Una suma $\Sigma a$ está determinada únicamente por los axiomas.

3. La serie $a$ es una solución de una recurrencia lineal $L_C(a)=f$ para algunos $f\in\mathcal C$ ($L_C$ se define en Karene la respuesta. De hecho, $L_C$ $l(S)$ donde $l$ es un polinomio).

4. El espacio de $\mathcal C'(a)$ es finitely dimensiones y $p_a(1)\ne 0$.

Como resultado parcial puedo demostrar que 2 implica que el espacio de $\mathcal C'(a)$ es finitely dimensiones. En efecto, supongamos lo contrario. Entonces la familia de la serie de $\{\Pi S^k(a):k$ es un entero no negativo, $\}$ es linealmente independiente. Ampliamos un operador lineal de la normal de suma desde el espacio lineal $\mathcal C$ a un operador lineal $\Sigma$ definido en el espacio de $\mathcal C(a)$ como sigue. Podemos definir a la $\Sigma$ poniendo $\Sigma a=\alpha$ donde $\alpha$ es un número arbitrario y, a continuación, continuar recurrentemente en la secuencia de $S^k(a)$ $\Sigma S^{k+1}a=\Sigma S^{k}a-a_k$ donde $a=\{a_k\}$. A continuación, extendemos $\Sigma$ lineal para todo el espacio lineal $\mathcal C(a)$.

Conjetura 2. Deje $a\in\mathcal S$ ser una serie. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Una suma $\Sigma a$ no puede ser definido.

2. El espacio de $\mathcal C'(a)$ es finitely dimensiones, $p_a(1)=0$ y la secuencia de $p_a(S)a$ no converge a cero.

Observación. Creo que si la serie $a$ crece más rápido que una serie geométrica, a continuación, el espacio de $\mathcal C'(a)$ es infinitamente dimensiones. Creo que la prueba de esto es fácil y que dejará a los lectores interesados.