Encontrar todos los $n$ tal que $\sqrt{5n+2}$ es un número entero.

Question

Aquí está mi solución. No hay tal $n$.

Si $n$ es extraño, entonces, a continuación,$5n+2 \equiv 7 \pmod {10}$. Otra cosa, $5n+2 \equiv 2\pmod {10}$.

Pero, los residuos cuadráticos de $10$ sólo $0,1,4,9,6,5$. Por lo tanto, la expresión nunca es un cuadrado perfecto.

Es correcto?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $k$ es un cuadrado perfecto, a continuación,$k\equiv0,1,4\pmod5$:

• $m\equiv0\pmod5 \implies m^2\equiv0^2\equiv0\pmod5$
• $m\equiv1\pmod5 \implies m^2\equiv1^2\equiv1\pmod5$
• $m\equiv2\pmod5 \implies m^2\equiv2^2\equiv4\pmod5$
• $m\equiv3\pmod5 \implies m^2\equiv3^2\equiv4\pmod5$
• $m\equiv4\pmod5 \implies m^2\equiv4^2\equiv1\pmod5$

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$\forall{n\in\mathbb{N}}:5n+2\equiv2\pmod5\implies5n+2\text{ is never a perfect square}$

Answer 2

Para que sea un número entero, $5n+2$ debe ser un cuadrado perfecto, Ahora el último dígito de la $5n+2$ sólo puede ser un $2$ o $7$, Ninguno de los cuales puede ser el último dígito de los cuadrados perfectos, por lo tanto $5n+2$ nunca puede ser un cuadrado perfecto.