Estoy buscando un $\mathbb{Z}[i]$ analógicos de la serie armónica alternante: $L(1,\chi)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}$.
Si tratamos de adición de los recíprocos de los enteros de Gauss se obtiene un divergentes de la serie, ya que hay demasiados términos:
$$ \sum_{(m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{m+ni} = 0$$
Si en lugar de tomar la norma $|(m+ni)|^2 = (m+ni)(m-ni) = m^2 + n^2$. A continuación se obtienen los Dedekind zeta de la función en $1$.
$$ \zeta_{\mathbb{Z}[i]}(1) = \sum_{(m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{m^2 + n^2} = \infty$$
Este "apenas se aparta" de la misma manera que la serie Armónica da divergencia logarítmica. Lo que si nos "twist" por factores de $(-1)$?
$$ L_{\mathbb{Z}[i]}(\chi, 1) = \sum_{(m,n) \neq (0,0)} \frac{(-1)^{m+n}}{m^2 + n^2} $$
¿Esta serie tiene un valor especial? En el caso de $\mathbb{Z}$, la alternancia serie Armónica es en $\mathbb{Q}\pi$, y para $\mathbb{Z}[i]$ estoy adivinando el valor en $\mathbb{Q}\pi^2$. Posiblemente garantiza una pregunta aparte.
Ha llegado a mi atención que la suma no es absolutamente convergente.
Incluso si no hay términos están ordenados, pueden ser re-ordenada en maneras divertidas para dar diferentes valores. En este 2-dimensional caso, es posible que la suma de windows $[-M, M]\times [-N,N]$ puede dar diferentes valores de $M,N \to \infty$.
Otro problema es que en realidad $\sum (-1)^n \frac{1}{n} = \log 2$ [1] y $\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} = \sum \frac{\chi(k)}{k} = \frac{\pi}{4}$ [2]. En cuyo caso la analogía correcta sería:
$$ \sum_{(m,n) \in \mathbb{Z}^2} \frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)^2 + (2n+1)^2} \hspace{0.25in}\text{or}\hspace{0.25in}\sum_{m+in \in \mathbb{Z}[i]} \frac{\chi(m+in)}{|m+in|^2} $$
Entonces no estoy seguro de lo que el correspondiente carácter de Dirichlet $\mathbb{Z}[i]$ debe ser [3].
