La recopilación de definiciones de continuidad.

Question

Deje $X$ $Y$ denotar espacios topológicos y considerar una función de $f : X \rightarrow Y$. Estoy recogiendo posible las definiciones y caracterizaciones de la declaración "$f$ es continuo."

He aquí dos para que podamos empezar.

• (Preimages de Abrir Sets) $f$ es continua iff para abrir todas las $B \subseteq Y$ sostiene que $f^{-1}(B)$ está abierto en $X$.
• (Imágenes directas de Abrir los Barrios) $f$ es continua iff para todos los $x \in X$ y abrir todas las $B \ni f(x)$, existe abra $A \ni x$ tal que $f(A) \subseteq B$.

Bring 'em!

Edit: de forma Intuitiva, sensible definiciones de continuidad, que, sin embargo, fallan, también son bienvenidos (proporcione un contraejemplo).

Edit2: ¿alguien sabe una manera de caracterizar la continuidad en términos de límite de operadores?

Answer 1

• Inversa de imágenes de conjuntos cerrados están cerrados.
• $f [ \overline{A} ] \subseteq \overline{ f[A] }$ todos los $A \subseteq X$.
• $\overline{f^{-1} [ B ] } \subseteq f^{-1} [ \overline{B} ]$ todos los $B \subseteq Y$;
• $f^{-1} [ \mathrm{Int} (B) ] \subseteq \mathrm{Int} ( f^{-1} [ B ] )$ todos los $B \subseteq Y$.
• siempre que $\langle x_\sigma : \sigma \in \Sigma \rangle$ es un netos en $X$ con límite de $x$, $f(x)$ es un límite de la red $\langle f(x_\sigma) : \sigma \in \Sigma \rangle$$Y$. (Tenga en cuenta que para esto estoy no asumir que las redes tienen un único límites.)

Answer 2

Para cada red $(x_i)_{i \in I}$ que converge a algunos $x$ en $X$, $f(x_i)_{i \in I}$ converge a $f(x)$.

Para cada filtro $\mathcal{F}$ $X$ que converge a $x \in X$, $f[\mathcal{F}]$ converge a $f(x)$.

La imagen inversa de un conjunto cerrado en $Y$ es cerrado en $X$.

Para una base fija $\mathcal{B}$$Y$, la inversa de la imagen de $O$ es abierta para todos los $O \in \mathcal{B}$.

Como la anterior declaración, pero luego para subbases.

Para cada $A \subset X$, $f[\overline{A}] \subset \overline{f[A]}$

Para cada $B \subset Y$, $\overline{f^{-1}[B]} \subset f^{-1}[\overline{B}]$

Para cada $B \subset Y$, $f^{-1}[\operatorname{Int}(B)] \subset \operatorname{Int}(f^{-1}[B])$