La fracción parcial de la descomposición de $\dfrac{x}{x^3-1}$

Question

Yo estaba tratando de descomponer $\dfrac{x}{x^3-1}$ en Fracciones Parciales. He intentado lo siguiente: $$\dfrac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac{A}{(x-1)}+\dfrac{B}{(x^2+x+1)}$$ $$\Longrightarrow A(x^2+x+1)+B(x-1)=x$$ Poner a $x=1,$ $$A(1+1+1)+B(1-1)=1\Rightarrow A=\dfrac{1}{3}$$ $$\Rightarrow\dfrac{1}{3}(x^2+x+1) +B(x-1)=x$$ $$\Rightarrow (x^2+x+1)+3Bx-3B=x$$ $$x^2+(3B+1)x +(1-3B)=x$$ En este punto me dio a pensar que debo haber hecho algo mal ya que no hay $x^2$ sobre el lado derecho, mientras que es allí en el lado izquierdo.

Yo estaría muy agradecido si alguien sería tan amable de ayudarme a entender mi error. Muchas, muchas gracias de antemano!

Answer 1

En una fracción parcial de la descomposición, y el numerador de un término con una ecuación cuadrática denominador (o la potencia de una cuadrático en el denominador) debe tener la forma $$Bx+C,$$ y no sólo una constante. Seguimiento a través de su argumento, nos vemos a nosotros recoger el álgebra en la antepenúltima pantalla ecuación: $$\frac{1}{3}(x^2 + x + 1) = (B x + C)(x - 1).$$ Así, podemos ver que esta corrección se introduce un nuevo término cuadrático $Bx^2$ (con un desconocido coeficiente), que fija con precisión el problema que hemos observado con el método dado.

Answer 2

$\frac{x}{x^3-1}=\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}$

$\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$

$x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)$

Deje $x=1$

$1=A(1^2+1+1)$

$1=3A$

$A=\frac{1}{3}$

Por eso, $x=\frac{1}{3}(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)$

$x=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}+Bx^2-Bx+Cx-C$

$x=(\frac{1}{3}+B)x^2+(\frac{1}{3}-B+C)x+\frac{1}{3}-C$

Comparar el coeficiente de

$0x^2=(\frac{1}{3}+B)x^2$

$\frac{1}{3}+B=0$, $B=-\frac{1}{3}$

$x=(\frac{1}{3}-B+C)x$

$\frac{1}{3}-B+C=1$

$\frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})+C=1$

$C=\frac{1}{3}$

Por lo tanto,

$$\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{1}{3(x-1)}+\frac{-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}} {x^2+x+1}$$

Simplificar y obtener un $\frac{1}{3(x-1)}+\frac{1-x}{3(x^2+x+1)}$