¿Cuál es el primer número cardinal que es mayor que el continuo? ¿Lo denotamos por? Muchas gracias.
$\mathfrak{c}^+$ o $( 2^{\aleph_0} )^+$ La $^+$ denota que estamos tomando el sucesor del cardenal . Su valor en la secuencia (transfinita) de números aleph no se puede determinar por ZFC porque el valor de $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$ no puede ser determinado por ZFC.
El Hipótesis de continuidad es la conjetura de que $\mathfrak{c} = \aleph_1 = \aleph_0^+$ y se demostró que es independiente de ZFC por Kurt Gödel (ZFC no puede demostrar $\mathfrak{c} \neq \aleph_1$ ) y Paul Cohen (ZFC no puede probar $\mathfrak{c} = \aleph_1$ ). Además la prueba de Paul Cohen demostró que dado cualquier número aleph $\aleph_\alpha$ ZFC no puede probar $\mathfrak{c} \leq \aleph_\alpha$ .
"No se puede determinar" es un poco confuso aquí. Sí que podemos definir un conjunto concreto con esta cardinalidad: es el conjunto de todas las clases de isomorfismo de ordenación de los reales.
Tal vez me estoy perdiendo algo obvio, pero me parece que por la construcción de Hartog, hay es un cardenal $\kappa$ para el que ZFC demuestra $\mathfrak{c} \leq \kappa$ ?
La notación $\beth_1$ representa la cardinalidad del continuo. Véase también, números beth .
Así, por definición, $(\beth_1)^+$ es el primer número cardinal que es estrictamente mayor que $\beth_1$ . Véase también, cardenal sucesor .
Si $(\beth_1)^+ = \beth_2$ es independiente de ZFC. Véase también, hipótesis de continuidad generalizada .
Los axiomas de ZFC pueden demostrar que existe $\alpha$ tal que $\frak c=\aleph_\alpha$ pero los axiomas en sí mismos son insuficientes para demostrar mucho en ese $\alpha$ . Podemos demostrar que $\alpha\neq 0$ y que $\alpha$ no tiene cofinalidad de $\omega$ sea lo que sea.
Pero además de estos dos hechos no podemos decir nada inteligible sobre qué es exactamente $\alpha$ . Sabemos que es posible tener un universo de teoría de conjuntos donde $\alpha=1$ y otro donde $\alpha=2$ .
Por lo tanto, no podemos decir mucho sobre lo que es $\frak c^+$ o $\aleph_{\alpha+1}$ , ya que no sabemos qué es $\aleph_\alpha$ en este caso. Sin embargo, podemos demostrar que existe y darle un símbolo como:
Y así sucesivamente.
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