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No existen enteros para que $x^2-4y=2$

Estoy trabajando en un nuevo ejercicio en mi libro de texto:

$$\text{Prove that: (P): }\;\nexists \;x,y \in \mathbb{Z}, x^2-4\cdot y = 2 $$

Estoy atascado y realmente me gustaría ver una correcta prueba de lo que me puede pasar, mientras que la comprensión de la "truco".

Gracias.

14voto

Noldorin Puntos 67794

Supongamos $x^2=4y+2$.

El lado derecho es divisible por $2$, pero no por $4$. Pero si el lado izquierdo es divisible por $2$, debe ser divisible por $4$.

8voto

Gautam Shenoy Puntos 5148

Un cuadrado sólo puede ser 0 o 1 mod 4. Mirando por encima de mod 4, consigue $x^2 = 2 \mod 4$. Por lo tanto no hay solución.

5voto

Desde $x^2=4y+2=2(2y+1)$

Supongamos que $x=2k$,$x^2=4k^2$. Es obvio que $4k^2 \not= 2(2y+1)$.

5voto

Komic Puntos 121

$x^2-4y=2$
$(x+2\sqrt{y})(x-2\sqrt{y})=2$
Los únicos factores de 2 se $\{1,2\}$ $\{-1,-2\}$
Por lo tanto, $(x+2\sqrt{y})=1$ o $(x+2\sqrt{y})=2$

Voy a empezar con $(x+2\sqrt{y})=1$. A continuación,$2\sqrt{y}=1-x\implies\sqrt{y}=\frac{1-x}{2}$.
Por subtitution, $(x-2\sqrt{y})=2$ implica que el $\left(x-2\left(\frac{1-x}{2}\right)\right)=2\implies x-1+x=2\implies x=3/2$. Tenga en cuenta que $x$ no es un número entero.

Sólo utilice el mismo método para el otro factor y el intercambio de las $2$ e las $1$.

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