Los pesos fundamentales corresponden a raíces fundamentales (es decir, raíces simples). Cada elección de raíces simples conduce a una elección diferente de pesos fundamentales. En realidad, no hay pesos fundamentales asociados a otras raíces (no simples) (o, al menos, que yo sepa, esta terminología no es estándar).
[Nota: El rango de $\mathfrak{sl}_N$ (o equivalentemente $SU(N)$ ) es $N-1$ . Pondré $\ell=N-1$ .]
Conceptos básicos: En primer lugar, hay que elegir un conjunto de raíces simples (dos sistemas cualesquiera de raíces simples son conjugados bajo la acción del grupo de Weyl). Digamos $\{\alpha_1,\dots,\alpha_\ell \}$ es tu conjunto de raíces simples. Supongamos que también hemos fijado un conjunto de generadores de Chevalley $\{ E_i, F_i, H_i \;|\; i=1,\dots,\ell \}$ por lo que se trata de elementos tales que $H_i \in [\mathfrak{g}_{\alpha_i},\mathfrak{g}_{-\alpha_i}]$ tal que $\alpha_i(H_i)=2$ y $[E_i,F_i]=H_i$ donde $E_i \in\mathfrak{g}_{\alpha_i}$ y $F_i \in\mathfrak{g}_{-\alpha_i}$ . Entonces $\alpha_j(H_i)=a_{ji}$ = el $i,j$ -de la matriz de Cartan (o la entrada $j,i$ -de la matriz de Cartan, según la convención que se utilice), de modo que, en particular $\alpha_i(H_i)=a_{ii}=2$ .
A continuación, lo que tienes para los pesos fundamentales no es del todo correcto. Los pesos fundamentales $\{\omega_1,\dots,\omega_\ell \}$ constituyen una base para $t^*$ que es dual a la (base de) coroots simples $\{H_1,\dots,H_\ell\}$ . En otras palabras, $\omega_i(H_j)=\delta_{ij}$ (el delta de Kronecker: $\delta_{ii}=1$ y $\delta_{ij}=0$ para $i\not=j$ ). En particular, $\omega_i(H_i)=1$ (no $2$ ).
A continuación, tomemos un irreducible de dimensión finita $\mathfrak{g}$ -módulo. De la teoría sabemos que es un módulo de máximo peso, digamos $V(\lambda)$ que es la suma directa de los espacios de peso. Estos pesos son de la forma $c_1\omega_1+\cdots+c_\ell\omega_\ell$ donde $c_i \in \mathbb{Z}$ (combinaciones lineales integrales de pesos fundamentales). En particular, las raíces de $\mathfrak{g}$ junto con $0$ (el funcional cero) son los pesos de la representación adjunta. Así que las raíces son combinaciones lineales integrales de pesos fundamentales. En realidad, resulta que $\alpha_i = a_{i1}\omega_1+a_{i2}\omega_2+\cdots+a_{i\ell}\omega_{\ell}$ por lo que la matriz de Cartan (o su transpuesta) es el cambio de matriz base de pesos fundamentales a raíces simples. La importancia de los pesos fundamentales es que forman una base para el entramado de pesos de representaciones de dimensión finita de $\mathfrak{g}$ .
Así que $\{H_1,\dots,H_\ell\}$ (co-raíces simples) forman una base para $t$ . Ambos $\{\alpha_1,\dots,\alpha_\ell\}$ (raíces simples) y $\{\omega_1,\dots,\omega_\ell\}$ (pesos fundamentales) son bases para $t^*$ . La base ponderal fundamental es dual a la base co-raíz simple. Y la matriz de Cartan es un cambio de matriz de base de las raíces simples a los pesos fundamentales.
A continuación, para $\mathfrak{sl}_N$ (la descomposición del espacio de raíces es para el álgebra de Lie no para el grupo de Lie $SU(N)$ ). Mientras que $E_{ij}$ ( $i \not= j$ ) son vectores raíz, sólo $E_{i,i+1}$ y $E_{i+1,i}$ están en simple espacios raíz. En particular, $E_i = E_{i,i+1} \in (\mathfrak{sl}_n)_{\alpha_i}$ (el $\alpha_i$ espacio raíz) y $F_i = E_{i+1,i} \in (\mathfrak{sl}_n)_{-\alpha_i}$ (el $-\alpha_i$ espacio radicular). Entonces $H_i = [E_i,F_i] = E_{i,i+1}E_{i+1,i} - E_{i+1,i}E_{i,i+1} = E_{i,i} - E_{i+1,i+1}$ (las co-raíces simples). Su otro $E_{ii}-E_{jj}$ también son co-roots, pero no necesariamente co-roots simples.
Si $H_\lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_\ell)$ entonces $H_\lambda=\lambda_1H_1+(\lambda_1+\lambda_2)H_2+\cdots+(\lambda_1+\cdots+\lambda_\ell)H_\ell$ . Por ejemplo: Consideremos $H_\lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ . Tenga en cuenta que $H_\lambda \in \mathfrak{sl}_3$ tiene traza=0, por lo que $\lambda_3=-\lambda_1-\lambda_2$ . Así $$ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1+\lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda_1-\lambda_2 \end{bmatrix} $$
$$= \lambda_1\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}+(\lambda_1+\lambda_2)\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$
Así que, en general, $\omega_i(H_\lambda) = \omega_i(\lambda_1H_1+(\lambda_1+\lambda_2)H_2+\cdots+(\lambda_1+\cdots+\lambda_\ell)H_\ell) = \lambda_1+\cdots+\lambda_i$ desde $\omega_i(H_i)=1$ y $\omega_i(H_j)=0$ para $i \not= j$ .
En $N-1$ representaciones fundamentales de $SU(N)$ son las representaciones con pesos más altos $\omega_1,\dots,\omega_{\ell}$ . A menudo se denominan $V(\omega_1),\dots,V(\omega_\ell)$ . Todas las demás representaciones irreducibles (de dimensión finita) aparecen como subrepresentaciones de productos tensoriales de estas representaciones.
Edita: Intentaré añadir una breve relación de los módulos de mayor peso. Allá vamos...
Sea $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita. Entonces toda $\mathfrak{g}$ -es completamente reducible (puede escribirse como una suma directa finita de módulos irreducibles). Entonces se puede demostrar que cada módulo irreducible es un más alto módulo de peso. Así que al final, si sabemos todo sobre los módulos de mayor peso, entonces esencialmente sabremos todo sobre todos los módulos.
¿Qué es un módulo de mayor peso? Sea $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie simple de dimensión finita con subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}$ (subálgebra de Cartan = subálgebra toral máxima = su " $t$ "). Además fijar un conjunto de raíces simples $\{ \alpha_1,\dots,\alpha_\ell\}$ y pesos fundamentales $\{ \omega_1,\dots,\omega_\ell \}$ .
Sea $V$ ser un $\mathfrak{g}$ -módulo. Entonces $V$ es un módulo de peso si $V = \oplus_{\mu \in \mathfrak{h}^*} V_\mu$ (la suma directa de los espacios de peso) donde $V_\mu = \{ v\in V \;|\; h \cdot v = \mu(h)v \}$ . Si $V_\mu \not= \{0\}$ entonces $V_\mu$ es un peso espacio y $\mu \in \mathfrak{h}^*$ se denomina peso . [Ejemplo: Si considera que $\mathfrak{g}$ como $\mathfrak{g}$ -módulo, entonces los pesos de la acción adjunta son las raíces junto con el funcional cero]. Por tanto, si $v \not=0$ está en el $\mu$ espacio de peso y $h \in \mathfrak{h}$ entonces $v$ es un vector propio de la acción de $h$ con valor propio $\mu(h)$ . Así $V_\mu$ es el eigespacio simultáneo para los operadores dados por la acción de cada $h \in \mathfrak{h}$ con valores propios $\mu(h)$ .
Se puede demostrar que un irreducible de dimensión finita $\mathfrak{g}$ -es un módulo ponderal y existe un único peso $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ tal que $\lambda+\alpha_i$ no es un peso para todos $i=1,\dots,\ell$ . Así que pensando en $\alpha_i$ como apuntando "hacia arriba" en algún sentido, $\lambda$ es lo más alto que puedes llegar. Es el peso más alto . A continuación, cada peso del módulo es de la forma $\lambda-(c_1\alpha_1+\cdots+c_\ell\alpha_\ell)$ para algunos enteros no negativos $c_i$ (todos los pesos están por debajo del peso más alto). Además, la estructura de un módulo irreducible es completamente determinado por su mayor peso. Así, si $V$ y $W$ son módulos irreducibles de mayor peso, entonces $V \cong W$ sólo si $V$ y $W$ tienen el mismo peso máximo. Además, resulta que se puede construir (un único) módulo irreducible de mayor peso para cualquier $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ . Solemos llamar a este módulo algo así como $V(\lambda)$ . Sin embargo, resulta que aunque $V(\lambda)$ es un módulo irreducible de mayor peso, es de dimensión finita si y sólo si $\lambda=c_1\omega_1+\cdots+c_\ell\omega_\ell$ donde cada $c_i$ es un número entero no negativo.
Fijar un conjunto de enteros no negativos $c_i$ . Supongamos entonces que hacemos un producto tensorial del módulo de mayor peso $V(\omega_i)$ (un módulo fundamental) $c_i$ -veces consigo mismo y luego tensor de todos estos juntos. Entonces tendremos un módulo (reducible) que contiene una copia del módulo irreducible de mayor peso $V(c_1\omega_1+\cdots+c_\ell\omega_\ell)$ . Así, los módulos fundamentales nos dan una forma de construir todos los módulos irreducibles de mayor peso de dimensión finita [aunque el producto tensorial incluirá copias de otros módulos irreducibles en general, por lo que tendremos que filtrar este material extra no deseado].
Su última pregunta. Dado un peso más alto para $SU(N)$ (equivalentemente $\mathfrak{sl}_N$ ), ¿cómo se escriben las matrices para la acción asociada al módulo de mayor peso correspondiente? Se trata de un cálculo no trivial y bastante complicado. Incluso la respuesta para $SU(3)$ es complicado. Así que voy a pasar de ella. :)
