Elemental Pregunta Sobre Álgebras De Hopf

Question

Deje $A$ ser suave, un Álgebra de Hopf sobre un campo $k$ con comultiplication mapa de $\Delta$ y el Aumento Ideal $I$.

Entonces puedo lo que respecta a la composición de $\Delta$ natural con la proyección de $A \otimes A$ a la plaza de $I$, es decir, el mapa

$A \rightarrow A \otimes_k A \rightarrow A/I^2 \otimes_k A/I^2$.

Ahora mis preguntas:

(1) se Puede decir lo que este mapa con un elemento $x$ $A$ explícitamente? En particular, ¿qué es el kernel? No estoy muy seguro de si realmente se puede decir algo en esta configuración general...

(2) Es $A/I^2 \otimes_k A/I^2$ naturalmente isomorfo como $k-$álgebra a algo más familiar? Puede ser que el es $(A\otimes_kA)/I\otimes_kI$? O qué otra cosa? Y ¿cómo funciona el mapa de arriba, a continuación, parecen?

Muchas gracias por tu esfuerzo!