los ceros de $\sin(z)$ donde $z$ es un número complejo

Question

¿Cómo puedo encontrar los ceros de $\sin(z)$ donde $z$ es un número complejo?

Sé que a lo largo de la línea real que hemos ceros a lo largo de $k\pi$ donde $k$ es un número entero. Pero, ¿y el resto del avión? La serie de taylor: $$ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, $$ realmente no me dicen mucho.

¿Cómo puedo encontrar los otros ceros?

Answer 1

Por definición

$$\sin z=\frac1{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)$$

así que

$$\sin z=0\iff e^{2iz}=1\iff z=k\pi\;,\;\;k\in\Bbb Z$$

Answer 2

El uso de la fórmula $$ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}. $$ Esto muestra que $\sin z = 0$ fib $e^{iz} = e^{-iz}$ fib $e^{2iz} = 1$ fib $2iz = 2\pi i n$ para algunos entero $n$ fib $z = n\pi$ para algunos entero $n$.