¿Por qué la característica de Euler de un límite es par? ¿Cómo se puede demostrar esto y hay una forma geométrica de pensar en ello?
Respuestas
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Dejemos que $M$ sea su colector (compacto). Puedes pegar dos copias $M_1$ , $M_2$ de $M$ a lo largo de su frontera, obteniendo un colector cerrado $2M$ . Utilizando la secuencia exacta larga de Mayer-Vietoris para la tríada $(2M;M_1,M_2)$ . Nos da la relación $\chi(2M)=2\chi(M)-\chi(\partial M)$ porque $M_1$ y $M_2$ se cruzan a lo largo de $\partial M$ .
Ahora, si $\dim M$ es impar, entonces $\dim 2M$ es también impar y $\chi(2M)=0$ Así que $\chi(\partial M)=2\chi(M)$ es par. Si $\dim M$ es par, entonces $\dim \partial M$ es impar y por lo tanto $\chi(\partial M)=0$ también es par.
Chris Benard
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Otra perspectiva: Triangular $M$ queremos calcular $\chi(\partial M) \bmod 2$ . Sea $T$ sea el conjunto de todas las caras (de todas las dimensiones) de la triangulación de $M$ . Contaremos, modulo $2$ el número de pares $(\sigma, \tau)$ de elementos en $T$ con $\sigma \subsetneq \tau$ .
Fijación de $\sigma$ Si $\sigma$ se encuentra con el interior de $M$ Afirmo que hay un número par de $\tau$ que contiene $\sigma$ . Esbozo de prueba: Trabajando en una vecindad de $x$ , dejemos que $x$ sea un punto en el interior de $\sigma$ , dejemos que $V$ sea un espacio lineal a través de $x$ transversal a $S$ y que $S$ sea una esfera alrededor de $x$ en $V$ . Entonces la intersección de $S$ con la triangulación $T$ da una triangulación de la esfera $S$ con una cara para cada $\tau$ con $\sigma \subsetneq \tau$ . Una triangulación de una esfera tiene un número par de caras.
Del mismo modo, si $\sigma$ está en el límite de $M$ entonces $S$ se encuentra con $M$ en un hemisferio cerrado y la triangulación de $S$ tiene un número impar de caras.
Así que el número de pares $(\sigma, \tau)$ como la anterior es congruente $\bmod 2$ al número de caras en $\partial M$ y, por tanto, congruente $\bmod 2$ a $\chi(\partial M)$ .
Fijación de $\tau$ Dejemos que $\tau$ tienen dimensión $d$ . Entonces hay $2^{d+1}-2$ caras $\sigma$ con $\sigma \subsetneq \tau$ . En concreto, este número es par, por lo que la cuenta es par.
