Resolver, de forma Directa (o Inductivo) Límite de

Question

Supongamos que queremos calcular la directa límite de la siguiente.

$$G\,\,\overset{M}{\longrightarrow}\,\, G\,\,\overset{M}{\longrightarrow}\,\, G\,\,\overset{M}{\longrightarrow}\,\, \cdots,$$

donde cada $G=\mathbb{Z}^d$, $d\in\mathbb{N}$, y la unión mapa de $M$ es administrado por un $d\times d$ matriz cuadrada. Por ejemplo, cómo encontrar el directo de límite, si $G=\mathbb{Z}^2$ y la unión mapa está dado por $M=\left[\begin{array}{cr} 0 & -2 \\ 3 & 6 \end{array}\right]$?

Answer 1

Realmente sólo el comienzo de una respuesta.

En el caso de $d=1$$M=m\neq 0\in \mathbb Z$, el resultado es el grupo $\mathbb Z[\frac{1}{m}]$, el conjunto de los racionales de la forma $n/m^k$ algunos $n\in \mathbb Z$$k\in \mathbb N$.

De forma análoga con el caso de $d=1$ si $M$$1-1$, esto es el conjunto de vectores en $\mathbb Q^d$ que puede ser escrito en la forma $M^{-n}g$ algunos $n>0$$g\in G$. Es un subconjunto de a $(\mathbb Z[\frac{1}{\det M}])^d$. Parece depender de los valores propios de a $M$.

Por ejemplo, un simple caso de $M$ diagonal con $M_{ii}=d_i$ daría el límite de $\prod_i \mathbb Z[\frac{1}{d_i}]$. Si $M$ es diagonalizable con el entero autovalores $d_i$, es esto cierto? Yo así lo creo. Lo que si es diagonalizable pero con arbitraria complejo autovalores? Yo no tengo ni idea.

Lo que si $M$ no es diagonalizable? No es invertible?

Para el específico $M$, podemos ver que $M^2-6M+6=0$, lo $M^{-2}(M-1) = \frac{1}{6}I$. Eso significa que si $(x,y)$ está en el límite, a continuación, $\frac{1}{6}(x,y)$ está en el límite, por lo que el límite es de $(\mathbb Z[\frac{1}{6}])^2$.

Este siempre será el caso para $2\times 2$ matrices cuyo rastro es un múltiplo de su determinante - a continuación, el límite es $(\mathbb Z[\frac{1}{\det M}])^2$.

Lo mismo es cierto para $d\times d$ matrices, $M$, si todos los coeficientes del polinomio característico, $p(x)=\det (xI-M)$, otros que el grado $d$ plazo, son divisibles por $\det M$. Usted aclarar esta restricción: si todos los coeficientes son divisibles por $r(\det M)$ donde $r(n)$ es el producto de los distintos factores primos de a $n$, entonces el límite es de $(\mathbb Z[\frac{1}{\det M}])^d$.

Answer 2

No tengo tiempo para comprobar los detalles ahora, pero creo que la respuesta es la siguiente para el caso de al $M$ es nonsingular.

Deje $V_n = M^{-n}\mathbb{Z}^d\subseteq \mathbb{Q}^d$$n\geq 0$. A continuación,$V_n\subseteq V_{n+1}$: si $A\in V_n$,$A = M^{-n}B$$B\in\mathbb{Z}^d$, lo $A = M^{-n}B = M^{-(n+1)}MB\in V_{n+1}$ porque $M:\mathbb{Z}^d\to\mathbb{Z}^d$. El directo de límite, a continuación,$\displaystyle \bigcup_n V_n$, el conjunto de todos racional de los vectores que la multiplicación por $M$ finalmente asigna un número entero vectores.

La idea es que cada una de las $V_n$ es isomorfo a $G$, pero mediante la sustitución de la $n^{\text{th}}$ copia de$G$$V_n$, vamos a reemplazar el mapa de $M$ de la $n^{\text{th}}$ $(n+1)^{\text{st}}$copia de $G$ con la inclusión del mapa. Directa límite de conjuntos, donde cada mapa es una inclusión de los subconjuntos es sólo una unión.