El Máximo posible para que un elemento $S_n$

Question

Dados los siguientes grupos, ¿cuál es el máximo posible para que un elemento para

(a) $S_5$ (b) $S_6$ (c) $S_7$ (d) $S_{10}$ (e) $S_{15}$

Mi libro justifica la respuesta como

(a) La mayor orden es $6$ y proviene de un producto de ciclos disjuntos de longitud 2 y 3

(b) El mayor orden es $6$ y proviene de un ciclo de longitud $6$

Las otras respuestas fueron justificados exactamente de la misma manera, es decir, (c) 12 (d) 30, (e) 105

No entiendo cómo en (a) hasta tenemos el número "6" de $S_5$ y lo ciclos disjuntos que se están refiriendo. Podría alguien, al menos, justificar uno para mí?

Answer 1

Usted tendrá que escribir las posibles formas de un determinado permutación (expresada como el producto de ciclos disjuntos) puede tomar, y luego utilice el sencillo hecho de que para ciclos disjuntos $\sigma_{1}, \dots, \sigma_{k} \in S_{n}$,

$$|\sigma_{1} \dots \sigma_{k}| = \textrm{lcm}(|\sigma_{1}|, \dots, |\sigma_{k}|).$$

Por ejemplo, en $S_{5}$, usted tiene (hasta el isomorfismo) las siguientes formas de que una permutación (escrito como el producto de ciclos disjuntos) puede tomar:

1. $(1 2 3 4 5)$
2. $(1 2 3)(4 5)$
3. $(1 2 3 4)$
4. $(1 2)(34)$
5. $(1 2 3)$
6. $(1 2)$

Luego de averiguar cual de las dos formas anteriores tendrán el mayor orden.

Hay una secuencia de valores (de Landau de la función, $g(n)$) que se puede hacer referencia para muchos de los valores de $n$.

Hay un límite superior en la función:

$$g(n) < e^{n/e}.$$

A0000793: Landau de la función g(n): el más grande de la orden de la permutación de n elementos, de manera Equivalente, la más grande de lcm de particiones de n.

Answer 2

Considere la posibilidad de la permutación $p = (1 2)(3 4 5)$. Es un elemento de $S_5$, pero tiene orden 6. Los "ciclos disjuntos" se $(1 2)$$(3 4 5)$, que tienen longitudes de 2 y 3, respectivamente.

Si usted no entiende el "ciclo de la notación" $(1 2)(3 4 5)$ dejar un comentario y voy a explicar más. La versión corta es que $(1 2)(3 4 5)$ es la permutación de la cual se envía a $1\mapsto 2$, $2\mapsto 1$, $3\mapsto 4$, $4\mapsto 5$, y $5\mapsto 3$.