Campos que tienen exactamente una extensión cuadrática (hasta isomorfismo)

Question

Sea $F$ sea un campo infinito tal que $F$ tiene, hasta isomorfismos de campo $^{[1]}$ exactamente una extensión $K/F$ de grado $2$ . ¿Implica que $[\overline F : F]<\infty$ ? ¿Qué ocurre si $F$ tiene la característica $0$ ?

No creo que esto se sostenga, incluso si la característica $0$ pero no tenía un ejemplo de un campo $F$ de característica $0$ ( $\implies F$ es infinito) tal que $[\overline F : F] = \infty$ y en $F^*$ cualquier producto de dos no cuadrados es un cuadrado, y hay al menos un no cuadrado (véase 4) más abajo).

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Mis pensamientos:

1) El único ejemplo de este tipo $F$ Sé que es $\Bbb R$ cualquier extensión cuadrática se incrusta en $\Bbb C$ que ya tiene grado $2$ en $\Bbb R$ . Mi pregunta es saber si existen otros ejemplos: si $[\overline F : F]<\infty$ entonces (por el teorema de Artin-Schreier) $F$ es un campo cerrado real .

2) Cualquier campo finito $\Bbb F_q$ tiene exactamente una extensión de grado $n$ (a saber $\Bbb F_{q^n}$ ), hasta isomorfismos de campo, para cada $n \geq 1$ .

3) Implica que todas las extensiones cuadráticas son isomorfas como campos, pero esto no es suficiente, precisamente cuando $F$ tiene sin extensión cuadrática por ejemplo $\overline F=F$ (o $\bigcup_{n \geq 0} K_n$ con $K_0=\Bbb Q,K_{n+1}=\{x \in \Bbb C \mid x^2 \in K_n\}$ ).

4) En característica diferente de $2$ cualquier extensión cuadrática de $F$ es separable y tiene el formulario $F(\sqrt a)$ donde $\sqrt a \not \in F$ . Por lo tanto, como se ha mencionado aquí las extensiones cuadráticas de $F$ responder a $A:=F^* / F^{*,2}$ donde $F^{*,2} = \{x^2 \mid \in F^*\}$ . Observe que $A$ es un $\Bbb F_2$ -espacio vectorial, mediante $[a]_2 \cdot [x]_{F^{*,2}} = [x^a]_{F^{*,2}}$ .

Así que el caso más interesante es cuando buscamos campos de característica $\neq 2$ tal que $A=F^* / F^{*,2}$ tiene orden $2$ . De forma equivalente, en $F^*$ cualquier producto de dos no cuadrados es un cuadrado, y hay al menos un no cuadrado (porque $x,y$ no cuadrados $\implies x,1/y$ no cuadrados $\implies x/y = a^2 \in F^{*,2} \implies [x]_{F^{*,2}} = [y]_{F^{*,2}}$ ).

Sea $a$ sea un no cuadrado en $F^*$ y que $i = \sqrt a$ . Demostrando que $F(i)$ es algebraicamente cerrado no es razonable. Obsérvese que esta condición sobre $[F^* : F^{*,2}]=2$ participa en 3. aquí que es precisamente la situación en la que $a=-1$ no es un cuadrado.

Entonces pensé en cierta extensión $F$ de $K=\mathrm{Frac}(\Bbb R[x,y]/(x^2+y^2+1))$ desde $-1$ no es un cuadrado en $K^*$ pero es una suma de cuadrados ; sólo necesitamos $[F^* : F^{*,2}]=2$ y entonces es un contraejemplo, ya que $F$ no será un campo formalmente real . Sólo sé hacer $[F^* : F^{*,2}]=1$ ver mi $K_n$ en 3).

5) He intentado $F = \overline{\Bbb F_2}(t)$ porque $t^{1/n}$ tiene grado $n$ para cualquier $n$ Así que $[\overline F :F]=\infty$ . Creo que cualquier ampliación $F\left(\sqrt{P(t)/Q(t)}\right)$ es isomorfo a $F(\sqrt t) = \overline{\Bbb F_2}(\sqrt t)$ cuando $P,Q \in \overline{\Bbb F_2}[t]$ es decir $P/Q \in F$ porque tenemos $\sqrt{a+b}=\sqrt a + \sqrt b$ en el sentido de que $x^2=a,y^2=b \implies (x+y)^2 = a+b$ de modo que $\sqrt{P(t)/Q(t)}$ no es más que una fracción racional en $\sqrt t$ es decir, pertenece a $F(\sqrt t)$ . Sin embargo, en característica $2$ no está claro que todas las extensiones cuadráticas surjan como $F(\sqrt a)$ para algún $a \in F$ .

6) En la característica 0 (al menos $\neq 2$ ), no está claro que $F(\sqrt{t+1}) \not \cong F(\sqrt t)$ . Si hubiera un isomorfismo de campo, entonces hay $u \in F(\sqrt t)$ tal que $u^2=t+1$ por lo que existen $a,b \in F[t]$ tal que $(a(\sqrt t)/b(\sqrt t))^2 = t+1$ lo que arroja $a(x)^2=(x^2+1)b(x)^2$ como polinomios en $F[x]$ ...

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$^{[1]}$ Sólo estoy interesado en isomorfismos de campos, no en isomorfismos de "extensiones de campo" (es decir, no en $F$ -algebras isomorfismos - equivalen a decir que $f : K \stackrel{\cong}{\to} K'$ conmuta con las incrustaciones $i : F \to K$ y $i' : F \to K'$ ).

Answer 1

Tras algunas búsquedas, puedo responder negativamente. En realidad podemos afirmar más:

Hay infinitos campos con exactamente una extensión de grado $n$ para cada $n \geq 1$ .

(Nótese que un campo finito satisface esta condición, pero un campo algebraicamente cerrado no funciona ya que tiene como máximo una extensión de grado $n \geq 1$ (en realidad $0$ si $n \geq 2$ )).

Estos campos $F$ satisfacer en particular $[\overline F : F] = \infty$ ya que existen elementos de grado arbitrariamente grande sobre $F$ .

Un ejemplo concreto es:

El campo de las series formales de Laurent sobre $\Bbb C$ denotado por $F = \Bbb C((T))$ .

(Su cierre algebraico es el campo de las series de Puiseux, pero no necesitamos eso para afirmar $[\overline F : F] = \infty$ . Por cierto, $F$ tiene característica 0). Este ejemplo ya se ha discutido aquí . Este ejemplo no requiere el axioma de elección (el otro de abajo sí lo requiere)...

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En términos más generales, podemos considerar campos cuasi finitos (que también requieren que el campo sea perfecto), o la noción aún más fuerte de campo pseudofinito . Un ejemplo aquí :

Sea $Q$ es el conjunto de todas las potencias primos, y sea $\mathcal U$ sea un ultrafiltro no principal en $Q$ (es decir, para todos $q \in Q$ hay $A \in \mathcal U$ tal que $q \not \in A$ ). Entonces el campo $$F' = \left(\prod_{q \in Q} \mathbb F_q\right)/\mathcal U$$ es un campo pseudofinito ; en particular tiene exactamente una extensión de grado $n$ para cada $n \geq 1$ .

Answer 2

Los campos finitos siguen dando muchos ejemplos. Sea $\kappa$ sea cualquier campo finito, y sea $q$ sea cualquier primo (no necesariamente distinto de la característica). Tomemos ahora la unión $\mathcal K$ de todos los campos $K_n$ para lo cual $[K_n:\kappa]=q^n$ . Entonces $\mathcal K$ es infinito, y tendrá una extensión única de cada grado primo a $q$ en particular sólo una extensión cuadrática, si $q\ne2$ .

EDITAR - Adición :
Al examinar más detenidamente su pregunta, veo que hace algunas conjeturas sobre la característica dos. En este caso, la imagen de la extensión cuadrática es a la vez más sencilla y más complicada. Cuando adjuntas la raíz cuadrada de algo, estás haciendo una extensión inseparable de grado $p$ y la verdad es que cuando la base es perfecta, como $\overline{\Bbb F_2}$ es, y su campo está finitamente generado sobre la base, y el grado de trascendencia es sólo uno, entonces hay precisamente una extensión inseparable de grado $p$ de hecho, sólo una extensión puramente inseparable de grado $p^m$ para cada $m$ . En otras palabras, a partir de $k=\overline{\Bbb F_2}(t)$ no importa a qué función racional le adjuntes la raíz cuadrada, obtienes la misma extensión, $k^{1/2}$
Por otro lado, hay infinitas cuadráticas no isomórficas separable extensiones de $k=\overline{\Bbb F_2}(t)$ por ejemplo, las que se obtienen uniendo las raíces de $X^2+t^mX+t$ .

Answer 3

No, no es así. Deja que $ F $ sea una extensión algebraica de $ \mathbf Q $ maximal con respecto a la propiedad de no contener ninguno de $ \sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, \zeta_3 \sqrt[3]{2}, \zeta_3^2 \sqrt[3]{2} $ . (La existencia de tal $ F $ está garantizado por el lema de Zorn). Entonces, $ F $ tiene precisamente una extensión cuadrática: $ F(\sqrt{2}) $ Sin embargo, $ X^{3^k} - 2 $ sigue siendo irreducible en $ F[X] $ para todos $ k \geq 1 $ Así pues $ [\bar{\mathbf Q} : F] $ no es finito.

Answer 4

EDIT: Actualmente es incorrecto. Trabajaré para recuperarlo.

Utilizando el axioma de elección, sea $s_1, s_2,\ldots$ sea una secuencia de números que son un subconjunto de una base de trascendencia de $\mathbb{C}$ . Sea $F$ sea una extensión de campo maximal de $\mathbb{Q}$ que no contenga ninguna de las $s_i$ (El lema de Zorn o la recursividad transfinita da esto). Obsérvese que $F(s_i)$ y $F(s_j)$ son isomorfas. Consideremos ahora $K=F(s_1^2,s_2^2,\ldots)$ . Ahora tenemos que $K(s_i)$ y $K(s_j)$ son isomorfas y de grado $2$ extensiones de $K$ . De ello se deduce que $[\mathbb{C}:K]$ es infinito. Una forma de ver esto es tomar la primera $k$ elementos de la secuencia y observe que $[K(s_1,\ldots,s_k):K]=2^k$ .

La cuestión, como se menciona en los comentarios, es que tengo que demostrar que $K[\sqrt{s_i^2+s_j^2}]$ no estropea las cosas.