Pregunta sobre una prueba de Atiyah Macdonald

Question

Tengo una pregunta sobre un paso de una prueba en Atiyah Macdonald. Es la proposición 2.4.

Sea M un módulo A de generación finita, sea a un ideal de A, y sea $ \phi $ sea un endomorfismo de módulo A de M tal que $$ \phi \left( M \right) \subset aM $$ Entonces $\phi$ satisface una ecuación de la forma $$ \eqalign{ & \phi ^n + a_1 \phi ^{n - 1} + ... + a_n = 0 \cr & \text{ where }\ \ a_i \in a \cr} $$

No entiendo por qué el determinante aniquila cada $x_i$ porque no entendí el paso de la matriz adjunta.

Answer 1

Para una matriz cuadrada $A$ con la matriz adjunta (o adjunta) adj $(A)$ tenemos que $\textrm{adj}(A) A=A \textrm{adj}(A) = \textrm{det} (A) I$ , donde $I$ es la matriz de identidad.

Por lo tanto, en su caso, deje que $A$ sea la matriz tal que $A_{ij} = \delta_{ij} \phi - a_{ij}$ . Actúa sobre $M^n$ . Entonces, si $x = (x_1,\ldots,x_n)$ tenemos que $A x = 0$ . Por lo tanto, $\det(A) x=\textrm{adj}(A) A x =0$ . Esto es lo que estabas buscando, ¿verdad?

Consulta la página de la wikipedia para saber más sobre las matrices adjuntas/adjuntas.

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix