Hay al menos un número irracional con la propiedad de que no puede ser definido por un número finito de la cadena de la información?

Question

Ok, así que tal vez no era la mejor manera de fraseo de la pregunta, pero creo que es lo suficientemente específico. Me explico a mí mismo un poco más abajo en caso de que yo estoy equivocado.

Así que estoy asumiendo que (aunque nunca lo he comprobado) que los números irracionales son definidos simplemente como todos los reales que no son racionales.

Estoy preguntando sobre la existencia, entonces, de un número irracional que no tiene finita descripción. I. e, no sólo no tienen un finito número o recurrente decimal descripción, pero no hay otra descripción (contando cosas tales como "la relación de La circunferencia y el diámetro de cualquier círculo en un plano Euclidiano" como finito).

Claramente, no tendría que ser infinitamente muchos de estos y que habría de forma continua conectado regiones de la recta real, de lo contrario se podría permitirse el lujo de descripciones tales como "El otro -, no finitely-descriptible número situada entre la x y la y", donde x & y obligado a los "de lo contrario-no finitely-descriptible z, y z puede ser demostrado ser el único número entre x y y.

Si es así, entonces esto tendría implicaciones para Laplace de Demonios y otros similares argumentos filosóficos, ya que sería matemáticamente imposible tener conocimiento de todo el universo, siempre que al menos uno de los parámetros se encontraba dentro de uno de estos no finitely-descriptible regiones.

Answer 1

Sí, allí están los números. Chaitin discute ampliamente, él tiene un libro popular sobre el tema, la Meta de las Matemáticas: la Búsqueda de La Omega. Ellos no forma continua conectado segmentos de la línea real, porque, por ejemplo, los racionales son densos (es decir, entre dos números reales, hay al menos una racional-y de hecho, hay un número infinito de racionales).

Sin embargo, estos no-computable, los números también son densos en la recta real.

Es posible que desee echar un vistazo a la "la teoría de la computabilidad", "definibles por el número", y "analítico de jerarquía" de los artículos en Wikipedia.

Tenga en cuenta que esto no supone un gran problema para la filosofía de la física como usted podría pensar: Esto no quiere decir que no se puede medir una constante física a lo que la precisión que usted podría desear.

Answer 2

Ser muy cuidadoso con este tipo de declaraciones. Por ejemplo, tomar la Baya de la paradoja: n Vamos a ser "El número más pequeño que no puede ser descrito con menos de 14 palabras". Debería existir? A continuación, se ha descrito con 13 palabras. El número de las descripciones de los contables, pero el número de reales es no. Por lo tanto, la mayoría de los reales no son finitely descriptible. Tampoco implica nada para la física? Yo no lo creo...

Answer 3

Por supuesto, sería necesario definir con precisión cómo el finito cadena se interpreta, pero la respuesta es sí. Sólo hay countably muchas cadenas y una cantidad no numerable de reales.

Answer 4

Para ser lo más amplio posible, permita un countably-infinito alfabeto y las descripciones de finito, pero ilimitado) de longitud. Esto parece describir el estado humano de asuntos, ya que parece que somos capaces de crear muchas nuevas maneras de describir las cosas, pero ciertamente no tener una cantidad infinita de tiempo para leer una descripción.

El conjunto de todas las posibles descripciones derivadas de este escenario es todavía sólo countably infinito. (Prueba: Fijar un orden en el alfabeto y la lista de todas las descripciones lexicográficamente.) Ya que los reales son innumerables, hay uncountably-muchos números reales que no admite ninguna descripción en este sentido.

Answer 5

Tu pregunta es demasiado vaga, especialmente en cuanto a su exigencia de un número finito de descripción. He aquí una aparente paradoja que pueden surgir si no tienes cuidado:

Supongamos que hay un número real que no puede ser descrita por cualquier secuencia finita de caracteres. Además, suponga que los reales puede ser bien ordenado. Entonces el conjunto de todos los reales sin finito descripción es no vacío, así que debe tener por lo menos un elemento (con respecto al bien de la orden). Pero lo que acabamos de dar es un "finito" descripción de un número que se supone que no tienen un número finito de descripción!

La "paradoja" se acaba de describir es el aroma de la interesante cifra de paradox y tiene la misma resolución. El punto es que las descripciones deben ser fijados de antemano; la cadena "el menos (con respecto a algunos bien el orden de los reales) número real que no es finitely se puede describir", si se describe un número, debe describir antes de formar el conjunto de todos los no-finitely-puede describir los elementos y por lo tanto no puede ser usado para describir cualquier otro. Este es un problema de sintaxis vs semántica; la cadena ya está sintácticamente describe la real, independientemente de lo que su semántica parecen describir.

Por lo tanto tu pregunta realmente debe ser planteada como este: fijar un alfabeto finito $\Sigma$ suficiente para formar cualquier palabra en inglés, frase, párrafo, etc.; y una función de $f: \Sigma^{*} \to \mathbf{R}$ donde $\Sigma^{*}$ denota el conjunto de todos finito de palabras a través de un $\Sigma$. Tenga en cuenta que una palabra en este contexto podría ser en realidad de lo que usted o yo realmente podría llamar una frase, un párrafo, etc. Definir una descripción de un número real $r$ a ser una palabra $\sigma \in \Sigma^{*}$ tal que $f(\sigma) = r$.

Con esta precisa de instalación, es trivial ver que algunos reales no tienen ninguna descripción, ya que la colección de todas las palabras a través de un número finito (countably infinito, incluso) el alfabeto es contable y los reales son innumerables.

Para ver concretamente ¿por qué ahora hay ninguna paradoja, considere la posibilidad de la (definitivamente no vacío) conjunto de todos los reales sin una descripción. Este conjunto aún tiene al menos un elemento (con respecto a cualquier buen orden de los reales), pero ahora no podemos decir que la cadena de $\sigma=$"el menos (con respecto a algunos bien el orden de los reales) número real que no es finitely se puede describir" lo describe, desde la $\sigma$ ya es una descripción de algún otro número real.

Edit. Me gustaría ver a alguien con una paradoja sin el uso de un buen orden de los reales (o cualquier otra consecuencia del axioma de elección). Si nadie puede, yo te pido como una cuestión separada.