Cómo resolver $y'=e^{\frac{xy'}y}$ ?

Question

¿Cómo resolver la siguiente ecuación?

$$y'=e^{\frac{xy'}y}$$

Debemos encontrar una solución común.

Answer 1

$$y'=e^{xy'/y}$$ $$y\ln(y')=xy'$$

1. Sustituir $y=e^{Ax+C}$ para conseguir $$e^{Ax+C}\ln(Ae^{Ax+C})=xAe^{Ax+C}$$ $$\ln(Ae^{Ax+C})=Ax$$ $$Ae^{Ax}e^C=e^{Ax}$$ $$Ae^C=1$$ $$A=e^{-C}$$ Así que la solución es $$y=e^{e^{-C}x+C}$$

2. Sustituir $y=-e^{Ax+C}$ y siga los pasos de arriba para obtener la solución $$y=-e^{-e^{-C}x+C}$$

Tenga en cuenta que con las sustituciones estamos no garantizado para encontrar todo soluciones.

Answer 2

$$y'=e^{\frac{xy'}{y}}$$ Deja : $u=\frac{xy'}{y}$ Así que.., $y'=\frac{yu}{x}$ $$\frac{yu}{x}=e^u$$ $$y=x\frac{e^u}{u}$$ $$y'=\frac{e^u}{u}+x\frac{e^u}{u}u'-x\frac{e^u}{u^2}u'=e^u$$ Esto permite eliminar $e^u$ $$\frac{1}{u}+x\frac{1}{u}u'-x\frac{1}{u^2}u'=1$$ $$x(u-1)u'=u^2-u=(u-1)u$$ Una solución particular es $u=1$ y la solución trivial $y=x\frac{e^1}{1}=ex$

Caso general $u\neq 1$ : $$xu'=u$$ $$u=cx$$ Entonces, la solución general : $$y=x\frac{e^u}{u}=x\frac{e^{cx}}{cx}$$ $$y=\frac{e^{cx}}{c}$$

Answer 3

$$y'(x)=e^{\frac{xy'(x)}{y(x)}}\Longleftrightarrow$$

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Dejemos que $y(x)=xv(x)$ , lo que da $y'(x)=v(x)+xv'(x)$ :

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$$xv'(x)+v(x)=e^{\frac{xv'(x)+v(x)}{v(x)}}\Longleftrightarrow$$ $$xv'(x)+v(x)=e^{1+\frac{xv'(x)}{v(x)}}\Longleftrightarrow$$ $$v'(x)=\frac{-v(x)-\text{W}\left(-\frac{1}{v(x)}\right)v(x)}{x}\Longleftrightarrow$$ $$\frac{v'(x)}{-v(x)-\text{W}\left(-\frac{1}{v(x)}\right)v(x)}=\frac{1}{x}\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{v'(x)}{-v(x)-\text{W}\left(-\frac{1}{v(x)}\right)v(x)}\space\text{d}x=\int\frac{1}{x}\space\text{d}x\Longleftrightarrow$$ $$\ln\left|\text{W}\left(-\frac{1}{v(x)}\right)\right|=\ln\left|x\right|+\text{C}\Longleftrightarrow$$ $$v(x)=-\frac{e^{-e^{\text{C}}x-\text{C}}}{x}\Longleftrightarrow$$ $$y(x)=-e^{-e^{\text{C}}x-\text{C}}$$