Categorías equivalentes, son elementarily equivalente: Formalización?

Question

Categorías equivalentes, debe ser elementarily equivalentes en el sentido de la lógica matemática. Cómo hacer este preciso? Aquí es un intento:

Deje $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ ser una equivalencia de categorías. Deje $\phi$ ser una fórmula en el lenguaje de las categorías con $n$ libre de objetos y variables $m$ libre de morfismos variables, con la siguiente propiedad: No hay objetos son iguales o no iguales, y morfismos sólo puede decirse a ser igual o no iguales si tienen el mismo origen y destino. A continuación, para los objetos de $X_1,\dotsc,X_n$ y morfismos $f_1,\dotsc,f_m$$\mathcal{C}$, tenemos $$\phi^{\mathcal{C}}(X_1,\dotsc,X_n,f_1,\dotsc,f_m) \Leftrightarrow \phi^{\mathcal{D}}(F(X_1),\dotsc,F(X_n),F(f_1),\dotsc,F(f_m)).$$

La crucial de la asunción, en cursiva, muestra lo que es realmente la diferencia entre el equivalencias de categorías y isomorphisms de categorías: no Podemos hablar de igualdad de los objetos. Y no podemos hablar de igualdad de morfismos, a menos que sean paralelas.

Supongo que la instrucción es más o menos conocido y suficientemente clara, pero todavía no se haya formalizado suficiente (en términos de la lógica matemática) para probar correctamente. Supongo que nuestro idioma, de la que $\phi$ es construido, consta de dos tipos, llamados "objetos" y "morfismos" (a pesar de categorías puede ser axiomatized con sólo una especie de "morfismos", no me cabe duda de que esto es conveniente aquí), y que tenemos la función de los símbolos $s,t$ de morfismos a objetos, llamados "origen" y "destino", un símbolo de función $\circ$ a partir de pares de morfismos de morfismos, llamado "composición", y, finalmente, un símbolo de función de los objetos a los morfismos. No queremos una igualdad de relación entre los objetos. Pero queremos una relación de igualdad entre el paralelo morfismos. No sé cómo hacer esta precisión. De alguna manera, en cada fórmula, cada aspecto de $f=g$ debe ser reemplazado por $(f=g) \wedge s(f)=s(g) \wedge t(f)=t(g)$. Pero nunca he oído hablar de tales reemplazos en la lógica matemática. Es posible encontrar una teoría en un lenguaje adecuado, tal que la fórmula $\phi$ en la declaración sobre equivalencias de categorías puede ser cualquier bien formado fórmula? Basado en mi propia experiencia con la categoría de teoría, casi no hay declaraciones de la forma "hay un morfismos $f$ tal que ...", sino que "hay una morfismos $f : A \to B$". Si este podría ser formalizado, entonces la igualdad de relación debe ser definido sólo entre dos morfismos $f : A \to B$$g : A \to B$. Tal vez esto será una especie de dos clasificados de idiomas con "parámetros"?

Answer 1

La cuestión ha sido estudiada por diversos autores:

• Freyd, 1976, Propiedades invariantes dentro de equivalencia tipos de categorías [MR0412249].
• Blanc, 1978, Équivalence naturelle et formules logiques en théorie des las categorías [MR0539867].
• Makkai, de 1995, de la lógica de Primer orden con el dependiente de la clase, con aplicaciones a la categoría de teoría.

Me temo que yo no estoy familiarizado con los detalles de cualquiera de estos, pero puedo decir que se PLIEGA es probablemente la mejor apuesta. Francamente, no creo que ninguno de estos resultados será especialmente útil – la restricción de la lógica de primer orden es una severa restricción en la práctica. Cito Lambek la revisión de Freyd del papel:

¿Son útiles los resultados de este trabajo? El anillo teórico de la cuestión con Morita equivalencia de algunas propiedades de los anillos debe estudiar la invariancia bajo la equivalencia de algunas propiedades del módulo de categorías. Por ejemplo, se podría considerar la posibilidad de tales frases como "cada módulo es proyectiva" y "existe un Noetherian generador". Parecería que la primera, en principio, podría ser manejado mediante la traducción en notación lógica y la comprobación de Freyd condiciones, mientras que el segundo debe esperar una extensión de Freyd métodos de la no-elemental frases. ¿Cuánto tiempo anillo teóricos de seguir la onda de sus manos?

Answer 2

La declaración como hemos anotado, todavía no es verdadero. A mí me parece que todavía se pueden escribir frases como "hay, al menos, $n$ diferentes morfismos" y este tipo de declaraciones no son invariantes bajo la equivalencia de categorías (donde yo entiendo "diferentes" para significar que la fuente es diferente, el objetivo difers, o el origen y el destino son el mismo pero los morfismos no son iguales en el sentido paralelo).