Uniformemente acotada secuencia de holomorphic funciones converge uniformemente

Question

Considere la posibilidad de abrir un conjunto conectado a $\Omega\subset \mathbb{C}$, e $f_n\subset H(\Omega)$. Supongamos $f(z)=\lim_{n\to\infty}f_n(z)$ existe y $|f_n(z)|\leq M$ todos los $z\in \Omega$. Mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\sup_{z\in K}|f_n(z)-f(z)|=0$$ para cualquier compacto $K\subset \Omega$.

Nota: Si es correcto, estoy seguro de que este es un resultado conocido; pero no veo por qué no es correcto, y no he encontrado una referencia, ya sea.

Answer 1

Desde la secuencia de mapas de $f_n$ es uniformemente acotada, la integral de Cauchy fórmula le dará un uniforme obligado en derivados $|f_n'(z)|\le C_K$ sobre cada compacto $K\subset \Omega$. Por lo tanto, la familia de restricción de los mapas de $f_n|K$ es equicontinuous y se desprende de la Arzela-Ascoli teorema que para cada compacto de nuestra secuencia de funciones contiene un uniformemente convergente larga. Desde la secuencia original converge punto de sabio, cada convergente larga tiene el mismo límite. Ahora, es un hecho general de pointset topología que si $x_n$ es una secuencia en topológicos compactos espacio y cada convergente larga en $x_n$ tiene el mismo límite, entonces la secuencia de $x_n$ también converge. Aplicamos este hecho a la secuencia de las restricciones de las funciones a un determinado subconjunto compacto $K$ $\Omega$ donde $X$ es el espacio de la $L$-funciones de Lipschitz en $K$ con la topología de la convergencia uniforme. Ahora sigue que nuestra secuencia de funciones converge uniformemente en cada subconjunto compacto $K$ lo que implica la reclamación.

El mismo argumento funciona con el teorema de Montel, ver los comentarios.