Encontrar el número de valores de$x$$(\sqrt{2})^x+(\sqrt{3})^x = (\sqrt{13})^{\frac{x}{2}}$.

Question

Pregunta:

Encontrar el número de valores de $x$ $$(\sqrt{2})^x+(\sqrt{3})^x = (\sqrt{13})^{\frac{x}{2}}.$$

Mi intento:

Traté de configuración $p = \sqrt{2}$, $q = \sqrt{3}$, y el restablecimiento de la ecuación:

$$p^x + q^x = \sqrt{p^4+q^4}^{\frac{x}{2}}$$

Pero yo no todavía piensan que la expansión sería probablemente resolverlo. Alguien tiene una mejor forma ?

Answer 1

Dividir por $(\sqrt{13})^{\large\frac{x}{2}}$, y escribir $x = 4y$. Usted obtener

$$\left(\frac{4}{13}\right)^y + \left(\frac{9}{13}\right)^y = 1.$$

Para $0 < a < 1$, la única solución de $a^y + (1-a)^y = 1$$y = 1$, ya que el $y\mapsto a^y$ $y\mapsto (1-a)^y$ son tanto de carácter estrictamente decreciente.

Answer 2

Esta es la forma en que me iba a atacar a su problema:

echa un vistazo a la función de $$f(x) = \sqrt2^x + \sqrt3^x - \sqrt{13}^{\frac x2}.$$

Si se hace una gráfica de esta función, usted puede conseguir la idea de que sólo puede tener una raíz: la Trama de la función.

Ahora, esta no es una estricta prueba, pero sí le ayudará a averiguar la prueba mirando algunas de las propiedades de la función, que puede ser probado:

1. La función es estrictamente creciente para $x<2$
2. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x) = 0$
3. La función es cóncava en a $[2,3]$
4. La función es decreciente para $x>3$
5. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x) = -\infty$

Ahora, a partir del 1 de. y 2. se puede concluir que la función no tiene raíces en $[-\infty, 2]$. De 3., se puede concluir que también no tiene raíces en $[2,3]$. De 4. y 5., se puede concluir que la función tiene sólo una raíz en $[3,\infty)$.

Answer 3

Para $f(x)=(\sqrt{2})^x+(\sqrt{3})^x-(\sqrt{13})^{\frac{x}{2}}$

• para $x>4$ tenemos $f(x)>0$
• para $x<4$ tenemos $f(x)<0$

Así???