Las funciones de Green de Stokes fluyen

Question

En matemáticas, un La función de Green es un tipo de función que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas sujetas a condiciones iniciales específicas o a condiciones límite. A solución fundamental para un operador diferencial parcial lineal L es una formulación en el lenguaje de la teoría de la distribución de la antigua idea de la función de un Green.

En el caso de C. POZRIKIDIS Límite integral y los métodos de singularidad para los métodos lineales flujo viscoso ,

Las funciones del Verde de Stokes fluyen representan soluciones de la continuidad ecuación $ \nabla\cdot { \bf u}=0$ y el la singularmente forzada ecuación de Stokes $$- \nabla P+ \mu \nabla ^2{ \bf u}+{ \bf g} \delta ({ \bf x-x_0})=0 $$

donde ${ \bf g}$ es una constante arbitraria, ${ \bf x_0}$ es un punto arbitrario, y $ \delta $ es el tridimensional función delta. Introduciendo la función del verde ${ \bf G}$ escribimos la solución de (2.1.1) en la forma $$u_i({ \bf x})= \frac {1}{8 \pi\mu }G_{ij}({ \bf x,x_0})g_j$$

Estoy confundido con la función de los Verdes en este texto.

Aquí están mis preguntas:

• Es $p(x)$ se supone que es lo desconocido en lo siguiente Ecuaciones de Stokes ?

$$ \begin {align} - \nabla p+ \mu \nabla ^2 u+ \rho b=0 \\ \nabla \cdot u =0 \end {align} $$

• ¿Qué significa la función de los verdes aquí? (¿Es "con respecto a" $u$ ?) ¿Por qué la solución de este tipo de forma?

• ¿Cuál es la función del Verde en el caso más general?

• ¿Cuál es la relación entre ${ \bf G}$ y $G_{ij}$ ? Como yo lo entiendo, $G_{ij}$ son los componentes y ${ \bf G}:{ \mathbb R}^3 \to { \mathbb R}^3$ . Entonces uno debe escribir: $${ \bf G}({ \bf x})= \left [ \begin {array}{cc} G_1({ \bf x}) \\G_2 ({ \bf x}) \\G_3 ({ \bf x}) \end {array} \right ]$$ donde $G_i:{ \mathbb R}^3 \to { \mathbb R}$ . ¿Qué es lo que $G_{ij}$ ?

Answer 1

No estoy seguro de que lo siguiente responda exactamente a su pregunta. Pero ahí va:

1. Sí, $p$ es la presión del fluido, como en las ecuaciones habituales de Stokes
2. La función de Green significa precisamente lo que suele significar. La ecuación es lineal. Así que existe alguna función $G_{ij}(x,x_0)$ y alguna otra función $H_i(x,x_0)$ tal que para resolver la ecuación arbitraria de Stokes $$ - \nabla p + \mu \nabla^2 u + f = 0 $$ con $u$ libre de divergencia, se tiene (hasta algunas constantes de normalización) $$u_i(x) = \int G_{ij}(x,y)f_j(y) dy$$ y $$p(x) = \int H_i(x,y)f_i(y) dy$$ La razón por la que la solución se ve un poco rara es porque tienes una simetría rotacional en tu problema: si giras el vector $g$ debería obtener una solución para el problema con $u$ y $p$ ambos también giraron. Si escalas $g$ también debería obtener versiones a escala adecuada de $u$ y $p$ como soluciones. Así que la forma particular de la función de Green enumerada es para capturar esta invarianza de la solución bajo ciertas transformaciones lineales.
3. Si buscas la función de Green real para la ecuación de Stokes, se dan en la página de Wikipedia que enlazaste. Un esquema de cómo se obtiene empieza por tomar la divergencia de su ecuación. Usando esa $u$ es libre de divergencia, se obtiene que $\nabla^2 p = g\cdot \nabla\delta(x)$ (podemos suponer que $x_0 = 0$ por invariancia de traslación). Se puede comprobar que $$ H_i(x,x_0) = H_i(x-x_0) \qquad H_i(x,0) = \frac{1}{4\pi} \frac{x_i}{|x|^3} $$ introduciéndola en la ecuación anterior para $p$ . Una vez que se tiene eso, se enchufa $p$ en la ecuación de Stokes, y ahora tienes una ecuación de Poisson para $u$ que puedes resolver por componentes y comprobar que es $G_{ij}(x,0) = \mathbb{J}(x)$ donde $\mathbb{J}$ es el tensor de Oseen que aparece en la página de Wikipedia a la que has enlazado.

Respuesta a la pregunta editada

$\mathbf{G}$ es un tensor de rango 2, NO un vector. (Por eso tiene dos índices.) Como dije arriba, $\mathbf{G}$ es el tensor de Oseen que aparece en la entrada de la Wikipedia a la que has enlazado. Lo que he escrito en (2) explica por qué $\mathbf{G}$ debe ser una función matricial/tensorial, y por qué en lugar de una función sobre $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3$ puede ser una función sobre $\mathbb{R}^3$ (que $\mathbf{G}(x,x_0)$ depende únicamente de la diferencia $x-x_0$ (se trata de la invariancia de traslación del problema).

Así que, $\mathbf{G}$ es una función que, en cada punto de $\mathbb{R}^3$ se evalúa como un tensor de rango 2, por lo que podemos representarlo en cada punto como una matriz.

$$ \mathbf{G} = \left( G_{ij} \right) $$

donde cada uno de $G_{ij}$ (9 componentes en total) son funciones de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}$ . Ahora, ¿cuáles son las funciones que componen $G_{ij}$ tenemos eso

$$ G_{ij}(x) = \frac{1}{8\pi \mu}\left( \frac{\delta_{ij}}{|x|} + \frac{x_i x_j}{|x|^3}\right) $$

donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker ( $=1$ si $i=j$ y $0$ en caso contrario).