El número de $90$ es una cortés número, ¿cuál es su grado de cortesía?
A. $12$
B. $9$
C. $6$
D. $14$
E. $3$
¿Cómo se puede conseguir que la respuesta? Traté de Wikipedia para averiguar lo que es un educado número y la manera de averiguar su cortesía, pero me gustaría ver que hace paso a paso o se lo expliquen porque yo no entiendo.
Un amable número, parece, es un entero positivo $n$, de tal forma que hay una lista de enteros positivos consecutivos $a, a+1,\dots, a+r$$n = a + (a + 1) + \dots + (a + r)$.
La cortesía es el número de representaciones de un educado número. Por ejemplo, $9$ es amable y su único representaciones se $2+3+4$ $4+5$ (como se puede comprobar), por lo que tiene la cortesía $2$.
La cortesía de un número resulta ser el número de sus divisores impares, mayor que uno. Por ejemplo, $9 = 3^2$ tiene divisores $1,3,9$, los dos últimos son los divisores impares y mayor que uno, así que de nuevo: $9$ tiene la cortesía $2$. Un número primo $p$ sólo ha $1,p$ como divisores, por lo tanto tiene la cortesía $1$ si y sólo si no es $2$ (desde $p=2$ no es impar).
De Wikipedia
En teoría de números, un educado es un número entero positivo que puede ser escrito como la suma de dos o más consecutivos enteros positivos.
La cortesía de un número positivo se define como el número de formas en que puede ser expresado como la suma de enteros consecutivos.
Usted tiene el siguiente resultado:
Para cada $x$, la cortesía de $x$ es igual al número impar de divisores de x que son mayores que uno.
Como la idea de la prueba, si usted tiene un escrito de $x$ $m+(m+1)+\dots +(m+k)$ donde $m, k\geq 1$ su suma es igual a $m\cdot (k+1)+k(k+1)/2=(k+1)(2m+k)/2$. Así que tienes que tener $(k+1)(2m+k)/2=x$. Uno de los dos $k+1$ o $2m+k$ es impar y ambos son mayores de $1$, por lo que cada escrito corresponde a un divisor impar.
A la inversa, si usted tiene un divisor impar, $y$, entonces usted tiene la escritura: $x=\sum_{i=\frac{x}{y} - \frac{y-1}{2}}^{\frac{x}{y} + \frac{y-1}{2}}i.$ Algunos de los términos de esta suma puede ser cero o negativo. Sin embargo, si un término es cero puede ser omitido y negativos de los términos pueden ser utilizados para cancelar positivas, que conduce a una cortés representación de $x$. (El requisito de que $y>1$ corresponde a la exigencia de que una cortés representación tiene más de un término). (Wikipedia)
El número de divisores de un número $x:=a_1^{b_1}\dots a_n^{b_n}$ está dado por la fórmula: $(b_1+1)\dots (b_n+1)$. Puesto que usted está interesado sólo en el impar de divisores mayor que 1, usted ignorar el poder de $2$ y se le resta $1$ (debido a que usted no desea tomar $1$ en consideración). Para $90=2^1\times 3^2\times 5$, tendrás $(2+1)(1+1)-1=5$.
Según la Wikipedia, un educado número es el que puede ser escrito como la suma de números enteros consecutivos, y su cortesía es el número de tales representaciones. Busca en este tipo de representación $$ 90=n+(n+1)+\ldots +(n+m)$$ vemos en la conocida fórmula para la aritmética de la serie que esta puede escribirse como $$ 90 = (m+1)\cdot n + \frac{m(m+1)}{2}=\frac{(m+1)(m+2n)}2$$ Tenga en cuenta que exactamente uno de $m+1, m+2n$ es impar, por lo que cada cortés representación de $90$ da lugar a un divisor impar de $90$. Por otro lado, si $d$ es un divisor impar de $90$, se puede intentar cualquiera de
Para el primer método de trabajo, necesitamos $d>1$$\frac{90}d>\frac{d-1}2$, es decir, $\frac{2\cdot 90}d >d-1$. Para el segundo método de trabajo necesitamos $d>m$, es decir, $ \frac{2\cdot 90}d<d+1$. Desde $\frac{2\cdot 90}d$ es incluso, exactamente una de las opciones que funciona para cada divisor impar $d>1$. Por lo tanto, la cortesía es el número impar de divisores. Esto puede ser leído a partir de la descomposición en factores primos de a $90=2\cdot 3^2\cdot 5^1$: el impar de divisores son de la forma$3^a5^b$$0\le a\le 2, 0\le b\le 1$. Por lo tanto, hay $3\cdot 2$ impar de divisores. Retire $d=1$, para llegar a la cortesía $5$.
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