Álgebra lineal: Suma directa

Question

Probar que si $W_1$ es cualquier subespacio de un finito-dimensional espacio vectorial $V$, entonces existe un subespacio $W_2$ $V$ tal que $V = W_1 \oplus W_2$

Lo que he hecho hasta el momento es de señalar que desde $V$ es finito y $W_1$ es un subespacio de $V$,$\dim(W_1) \leq \dim(V)$. Si tenemos la igualdad, entonces vamos a $W_2 = \{0\}$, por lo que tenemos $V= W_1 \oplus W_2$. Así que ahora tengo que mirar en el caso de al $\dim(W_1) \lt \dim(V)$.

Lo que he intentado para este caso es dejar $$\beta = \{v_1,v_2,..,v_n\}$$ be a basis for $V$ and $$\gamma=\{u_1,u_2,..,u_m\}$$ a basis for $W_1$. My idea was to extend $\gamma$ to a basis for $V$, so let $$\alpha=\{u_1,u_2,..,u_m,w_1,w_2,..,w_{n-m}\}$$ be the extension of $\gamma$ to $V$, where $w_1,w_2,..,w_{n-m}$ are basis vectors for $W_2$. If I'm doing this right then I would just have to show that $W_1 \cap W_2 = \{0\}$ and $W_1 + W_2= V$

Estoy yendo en la dirección correcta? Todas las sugerencias serán bienvenidos.

Answer 1

Si usted ya sabe que puede competir a base de un subespacio a base para todo el espacio entonces prácticamente se realizan.

Sugerencia: tenga en cuenta que $\alpha$ es una base para $V$ (esto debería darte $W_{1}+W_{2}=V$, ¿por qué?) y que el $w_{i}$ son linealmente independientes de la $u_{i}$ (esto debe demostrar que $W_{1}\cap W_{2}=\{0\}$, ¿por qué?)

Nota: Lo que veo, no hay utilización para $\beta$ $v_{i}$ en la prueba