Mayor entero $n$ donde $n \lt (\sqrt5 +\sqrt7)^6$

Question

Realmente no sé cómo hacerlo. Factorizar por una potencia de $3$ y cuadrado que tengo $2^3 (6+\sqrt{35})^3 \gt n$, y sé que si puedo probar que $12^3-1 \le (6+\sqrt{35})^3 \lt 12^3$ básicamente estoy hecho, pero no sé cómo hacerlo. Cualquier ayuda es apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Vamos
$$N=(\sqrt{7}+\sqrt{5})^6 +(\sqrt{7}-\sqrt{5})^6.$$ Si nos imaginamos la expansión a través del Teorema del Binomio vemos que $N$ es un número entero. El segundo término es bastante pequeña, ya que ya es $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ está muy por debajo de $1$. Así que nuestro $n$ es igual a $N-1$.

Ahora se expanda. Hay un poco justo de cancelación. Tenemos $$N=2\left(7^3 + \binom{6}{2}(7^2)(5)+\binom{6}{4}(7)(5^2)+5^3\right).\tag{1}$$ Búsqueda de $N$ explícitamente es bastante fácil, es exacta la aritmética .

Observaciones: $1.$ Mucho más eficiente, se puede utilizar exactamente la misma idea, pero hacer uso de su cálculo de la plaza. Considere la posibilidad de $$(6+\sqrt{35})^3+(6-\sqrt{35})^3.$$ Esto es igual a $2\left(6^3+3(6)(35)\right)$.

$2.$ Lo que hicimos no es un truco. La idea general es de amplia aplicabilidad, es un método.

Answer 2

En primer lugar, un comentario sobre la técnica. De forma heurística, lo que está haciendo es "malo" para una competición problema en el sentido de que estás ignorando y tirar mucho de la estructura. (Ha $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ elevado a una potencia. Este es un concurso problema. Eso no es una coincidencia.) Su forma puede ser útil para encontrar algún punto débil de los límites en el fin de comprobar su respuesta final, pero antes de que incluso me he encontrado la solución, yo podría decirle que probablemente no iba a funcionar.

Cada vez que usted vea un problema de las sumas de radicales, inmediatamente debe pensar en tomar el conjugado y de alguna manera de jugar trucos con ella. Esta idea conduce rápidamente a una solución. El conjugado es $(\sqrt 7 - \sqrt 5)^6$, y no es difícil notar que éste es un número menor que uno. Entonces

$$(\sqrt 7 + \sqrt 5)^6 + (\sqrt 7 - \sqrt 5)^6$$

es un número entero, y el resto de la solución es clara.

Answer 3

Queremos un límite inferior de $\sqrt{1-x}$. Desde $\sqrt{1-x} = (1-x) ^ {1/2} = 1-x/2-x ^ 2/8-x ^ 3/16-5 x ^ 4/128... $ voy a tratar de $1-x/2-x^2/4$.

$\begin{align} (1-x/2-x^2/4)^2 &=1-x-x^2(1/4+1/2)+x^3/4+x^4/16\\ &=1-x-3x^2/4+x^3/4+x^4/16\\ &= 1-x-x^2(3/4-x/4-x^2/16)\\ &< 1-x\\ \end {Alinee el} $

$0 < x < 1/2$, que $\sqrt{1-x} > 1-x/2-x^2/4$ $0 < x < 1/2$.

$\sqrt{35} = \sqrt{36-1} = 6\sqrt {1-1/36} > 6(1-1/12-1/(4*36)) = 6-1/2-1/24 $ que $6 + \sqrt {35} > 12-1/2-1/24 > 12-1$ como usted quiso.

Answer 4

Tomar la expansión binomial. At $n=6$ pascals is $1$ $6$ $15$ $20$ $15$ $6$ $1$. Así $(\sqrt{5}+\sqrt{7})^{6}=$ (agrupación por separado de #% de #% % de $\Bbb N$) $\Bbb R$. Para estimar n nuestra, debe estima que 3 lugares que nos da el $5^3+7^3+15(5^2 7+7^2 5) + \sqrt{35}(6(5^2+7^2)+20*5*7) = 6768+\sqrt{35}(1144)$$\sqrt{35}$ redondeo hacia abajo y, como el mayor número natural menor que $5.916*1144\approx6767$ $6767+6768=13535$.