¿Por qué todavía utilizamos la teoría de la perturbación, cuando hemos avanzado métodos numéricos y computadoras rápidas?

Question

Si mi pregunta suena ignorantes o incluso insultante, me disculpo. Puedo estar completamente equivocado, porque yo no soy un físico teórico.

Por tanto, entiendo por qué la teoría de la perturbación fue originalmente utilizado en la mecánica cuántica, e incluso antes en otros campos. Sólo había ninguna mejores formas para resolver algunos problemas (al menos aproximadamente). Y es un gran método para algunos de los problemas con los 'pequeños' de las perturbaciones.

Pero ahora tenemos equipos rápidos y avanzados métodos numéricos. Pero no sólo de los investigadores todavía usan PT para problemas particulares, gran parte del trabajo teórico de la mecánica cuántica está basada en el primer orden (o de segundo orden, en el mejor), PT. Tomar la regla de oro de Fermi, por ejemplo.

Pero PT (primer o de segundo orden, que se utilizan) no siempre es una buena aproximación, y hasta he escuchado que la convergencia no se ha demostrado en general.

Así que por favor, dime, ¿hay algún trabajo que se realiza en movimiento más allá de la PT en el cuerpo teórico de la mecánica cuántica, física del estado sólido y otros campos? O tal vez, hay algunos de los más avanzados PT con alta los términos de orden, mejor adaptada para ordenador de las implementaciones?

Answer 1

Pero ahora tenemos equipos rápidos y avanzados métodos numéricos. Pero no sólo de los investigadores todavía usan PT para problemas particulares, gran parte del trabajo teórico de la mecánica cuántica está basada en el primer orden (o de segundo orden, en el mejor), PT.

La razón por la teoría de la perturbación no ha sido abandonado es la complejidad computacional. Este campo (CC) es el estudio de cómo el tiempo necesario para obtener una solución crece a medida que el tamaño (N) de que el problema se incrementa (por ejemplo, aumentando el número de puntos de cuadrícula en una integración numérica). Hay dos categorías principales de CC: 1) aquellos para los que el tiempo aumenta a medida que un polinomio de N (conocido como P-tipo), y 2) aquellos para los que el tiempo aumenta de forma exponencial (denominados NP o no polinomio tipo).

Yo podría escribir la exacta ecuación de Schrödinger para una N-electrones del átomo, pero a menos que N=1 (hidrógeno, donde una solución analítica es posible) el problema es de tipo NP y los intentos para obtener soluciones numéricas de la ecuación exacta seguirá siendo poco práctico no importa lo rápido que las computadoras. El crecimiento exponencial en el tiempo pronto domina cualquier aumento de los recursos.

Esto no significa que simples de primer o segundo orden de teoría de perturbaciones es la única reserva. Por la N-electrones de un átomo, por ejemplo, por lo general se asume un conjunto de hidrógeno como los orbitales (generado a través de algunos de potencial central V(r)) y la escribe en la expectativa de valor de la exacta Hamiltoniano para un determinante de Slater de estos orbitales. Esto es en realidad un primer orden de teoría de perturbaciones resultado donde la perturbación potencial es la diferencia entre el total de Hamilton y la de Hamilton, que incluye el campo central V(r), pero excluye el electrón-electrón términos de interacción.

No nos detendremos en este primer resultado de la orden, sin embargo. Al equiparar el variacional derivados de esta expectativa de valor con respecto a cada orbital a cero obtenemos la Hartree-Fock (HF) de las ecuaciones (lo que convierte a un problema NP en un P problema). Por iterativamente la resolución de la HF ecuaciones hasta que el potencial central V(r) obtenidos a partir de los orbitales genera exactamente el mismo orbitales en la siguiente iteración (una condición llamada auto-consistencia) que efectivamente la suma de un cierto subconjunto de la teoría de la perturbación términos a infinito de orden y obtener muy buenas aproximaciones para el N-electrones problema. Simple teoría de la perturbación es el punto de partida, pero el resultado final va mucho más allá.

Es cierto que no hay ningún general de la prueba de la convergencia de la teoría de la perturbación de los enfoques y hay algunos ejemplos en los que la convergencia no puede ser explícitamente demostrado, sin embargo, muchos problemas en la física simplemente no puede ser abordado de otra manera.

Answer 2

Para una gran cantidad de aplicaciones, la primera (a veces segundo) orden de teoría de perturbaciones da descripción adecuada en el análisis de la forma, que puede ser más adecuado para las futuras investigaciones de recolección de datos.

Después de todo, el objetivo de estos cálculos es la prueba de validez de la física específica del modelo en cuestión, proporcionando los valores de ciertas físicas observables. A veces la búsqueda de la solución numérica sería una exageración, otra vez proporcionar tratamiento analítico en términos de la teoría de la perturbación de relieve las limitaciones u otras características importantes de la teoría.

El área de los efectos no lineales no es tratada de la misma manera, porque lineal resultado no podría describir los fenómenos. Por desgracia, esto no significa que los números le dan la cura. Incluso si uno se pone datos numéricos, a veces es difícil hacer conclusiones sólo a partir de ella.