prueba de que $\int_{a}^{x} = \int_{x}^{b}$

Question

Quiero demostrar que si $f$ es una función continua en el intervalo $[a,b]$ entonces debe existir algún $x \in [a,b]$ tal que: $$\int_{a}^{x} = \int_{x}^{b}$$

Intuitivamente esto parece muy fácil y puedo ver por qué es cierto, es sólo la estructura de la prueba lo que me confunde.

¿Es suficiente decir que desde $f$ es continua, $\int_{a}^{x}$ existe $\forall x \in [a,b]$ y en particular podemos encontrar algunos $x_{0}$ tal que: $$\int_{a}^{x_{0}} = \frac{1}{2} \int_{a}^{b}$$ y desde entonces: $$\int_{a}^{x_{0}}+\int_{x_{0}}^{b} = \int_{a}^{b} $$ lo entendemos: $$\int_{x_{0}}^{b} = \int_{a}^{b} - \int_{a}^{x_{0}} $$
$$\int_{x_{0}}^{b} = \int_{a}^{b} - \frac{1}{2} \int_{a}^{b} $$ Así que..: $$\int_{x_{0}}^{b} = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} $$ y lo entendemos: $$\int_{a}^{x_{0}} = \int_{x_{0}}^{b}$$

¿Es esto lo suficientemente riguroso? ¿Debería intentar un método diferente, tal vez utilizando particiones y sumas superiores/inferiores? ¿Existe una especie de teorema del valor medio equivalente para integrales con área en lugar de la derivada?

Gracias, chicos.

Answer 1

Dejemos que $$g(x) := \int_{a}^{x} f - \int_{x}^{b} f = \int_{a}^{x} f + \int_{b}^{x} f$$

y nota $$g(a) = \int_{b}^{a} f$$ y $$g(b) = \int_{a}^{b} f = -\int_{b}^{a} f$$

Del primer teorema fundamental del cálculo, $g$ es continua. Del teorema de Bolzano, deducimos que $g(x)$ desaparece en algún punto del intervalo $[a,b]$ , demostrando así la afirmación.

Cabe señalar que la hipótesis de continuidad no es necesaria.

Answer 2

Es decir, si $f$ es continua, basta con utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, que $F$ sea una antiderivada para $F$ por la FTC, $F$ es diferenciable, por lo tanto continua. Entonces

$$g(x) = \int_a^x f(t)\,dt = F(x) - F(a)$$ $$h(x) = \int_x^b f(t)\,dt = F(b) - F(x)$$

Cuando $x=a$ la primera integral es $0$ y el segundo es $>0$ o $<0$ . Supongamos, WLOG, que $f(t) >0$ en $[a,b]$ Así que $F(x) - F(a)$ es una función creciente de $x$ en $[a,b]$ y $F(b) - F(x)$ es una función decreciente. Pero claramente la primera integral es $0$ en $x=a$ y el segundo es $0$ en $x=b$ por lo que deben ser iguales en algún punto como $g(x) - h(x)$ es continua y cambia de signo en $[a,b]$

Answer 3

Sabemos que existe un continuo en el intervalo $x \in [a, b]$ , $F(x)$ tal que..:

$$ \int_a^bf(t)dt = F(a) - F(b) \\ \int_a^xf(t)dt = F(x) - F(a) \\ \int_x^bf(t)dt = F(b) - F(x) \\ $$

Establece que las dos últimas ecuaciones sean verdaderas:

$$ F(x) - F(a) = F(b) - F(x) \longrightarrow F(x) = \frac{F(a)+ F(b)}{2} $$

Utilizando el Teorema del valor intermedio , tal como un $x$ debe existir en el intervalo $x \in [a, b]$ ya que se puede demostrar que la media de $F(a)$ y $F(b)$ está ciertamente entre los dos valores de $F(a)$ y $F(b)$ .