He encontrado esta definición en este archivo PDF en la página 17: http://math.byu.edu/home/sites/default/files/u107/proofs_crash_course.pdf
Yo no podía comprenderlo. Traté de sustituir x por un valor en f(x) y f(-x), pero el resultado no fue igual. Entonces, ¿cómo fue esta probado? Es correcto?
Por favor, comprenda que estoy solicitando una explicación de la definición : f(x) si f(-x) = f(x). No estoy pidiendo una respuesta a la pregunta formulada en el PDF de referencia.
Hay una posibilidad de que usted podría confundirse con la palabra "incluso". Esto no significa que la función es igual a 2,4,6, etc. Usamos la palabra "incluso" para que también (cuando estamos hablando de números), pero cuando la gente dice que una función es par, que significa que se refleja sobre el eje.
Por ejemplo, $f(x)=x^{2}$ es "hasta", no porque es igual a 2 o 4 o 6, pero debido a que es simétrica a través del eje. Este espejo de la propiedad es un resultado del hecho de que $f(x)=f(-x)$. ¿Por qué es de esa manera? Bueno, si usted lo enchufa en 1, es el mismo como si se hubiera conectado en -1. Igual que el 2 y -2. Por lo tanto $f(x)$ es el mismo para los positivos y negativos de x; en otras palabras, $f(x)=f(-x)$. $cos(x)$ tiene la propiedad, y un montón de otras funciones. Les voy a mostrar algunas fotos para mayor claridad, el crédito a wolfram alpha:
Si usted está pidiendo una prueba de que $f(x)$ es incluso si $f(x)=f(-x)$, no es algo que se puede "probar", al menos no de una manera matemática. Permítanme decir algo más: Es que no tenemos un concepto de lo que "incluso" significa en nuestra cabeza, y nosotros tenemos un concepto de lo que significa ese $f(x)=f(-x)$, y así, podemos mostrar que esos son equivalentes. En su lugar, "incluso" es sólo una etiqueta que ponemos en las funciones para las que $f(x)=f(-x)$, en lugar de decir que de plano cada vez. Nunca podríamos uso de la palabra, incluso, pero es más sencillo. Se observó un rasgo y, a continuación, le dio un nombre.
Un ejemplo análogo: no se puede "demostrar" que hacemos un llamado a los redondos frutos comestibles con los tallos de las "manzanas", que es sólo el nombre que les dio. Las manzanas vino primero, y luego vino el nombre. Supongo que la única "prueba" de que estas cosas se llaman manzanas sería hacer una encuesta y ver qué porcentaje de la gente realmente les llaman manzanas. Usted podría hacer que para esto también, y estoy seguro de que te iba a encontrar que cuando llegó a los matemáticos, en inglés, al menos el 95% se podría llamar una función de este tipo, incluso. A pesar de que esta no sería una prueba, que sólo sería una fuerte evidencia de que si había una muestra de gran tamaño. Las pruebas son, en teoría, el razonamiento que hace lo IMPOSIBLE para que la expresión sea falsa.
Usted también podría preguntar por qué llamamos una función como $f(x) = x^2$ "incluso" - es decir, por qué elegimos esa palabra. Bueno, resulta que $f(x) = x^k$ es una función incluso cuando $k$ es un número par, y es una función impar cuando $k$ es un número impar. Así que aunque podríamos haber elegido otras palabras para estos tipos de funciones (por ejemplo, "simétricas" y "antisimétrica"), elegir "" e "impares" como los nombres tiene algún valor mnemónico.
Una definición es una definición, no se le permite solicitar una prueba, o a la pregunta, se espera que memorizar y ser capaz de utilizarlo.
Pero, usted puede pedir una justificación intuitiva y una motivación para una definición. Considere la función $g(x)=3x^4-6x^2-5$. Aviso cosas como
$g(-1)=3(-1)^4-6(-1)^2-5 = 3 (1)^4-6(1)^2-5 = g(1)$, y
$g(-4)=3(-4)^4-6(-4)^2-5 = 3 (4)^4-6(4)^2-5 = g(4)$, y más en general
$g(-x)=3(-x)^4-6(-x)^2-5 = 3 (x)^4-6(x)^2-5 = g(x)$ todos los $x$.
Esta función tiene la propiedad de que $g(-x)=g(x)$ todos los $x$. Parece que esta
tiene algo que ver con los poderes de la $x$ que aparecen en ella: $x^4$, $x^2$, y, usted puede decir, $x^0$ (como $5x^0=5$). Sucede más en general, que si todos los poderes de $x$ en una función son iguales, entonces los valores de la función en $-x$ y a las $x$ son los mismos. Pero, esto también sucede para otras funciones, como $\cos(-x)=\cos(x)$ todos los $x$, incluso si usted no ve ninguna poderes de $x$ aquí. Es conveniente dar un nombre a las funciones que satisfacen esta propiedad. Desde la más sencilla de ejemplos que participan incluso los poderes, nosotros llamamos a estas funciones, incluso funciones.
Pero, no queremos ser restringido sólo a considerar las funciones en el que los poderes de la $x$ incluso: resulta conveniente el uso de este mismo nombre siempre que una función $f$ tiene la propiedad de que $f(-x)=f(x)$ todos los $x$. Todas esas funciones son, por definición, llamado incluso (esto es sólo una convención, nada que demostrar aquí, como usted no necesita ninguna prueba para justificar por qué el color rojo es llamado el rojo), pero una vez que el presente convenio, o de definición, si es aceptada, usted puede usarlo para probar que una función u otra, incluso, decir que está satisfecho de la definición de la propiedad, incluso de funciones, que $f(-x)=f(x)$ todos los $x$. Por ejemplo, la función de $f(x)=|x|+5$ es incluso (aunque parezca $x$ aparece el primer poder que es raro), ya que $f(-x)=|-x|+5=|x|+5=f(x)$ todos los $x$.
Otro ejemplo $h(x)=x^3-4x$. Aquí si usted comienza con $h(-x)$ tenemos
$h(-x)=(-x)^3-4(-x)= -(x^3)+4x= -\Bigl(x^3-4x\Bigl)=-h(x)$.
Por lo $h(-x)=-h(x)$ todos los $x$. Es conveniente llamar a todas las funciones con esta propiedad impar funciones. Que es $f$ es una función impar si, por definición (convenio, acuerdo) $f(-x)=-f(x)$ todos los $x$ (en el dominio de $f$).
Hay muchos ejemplos de tales funciones, donde todos los poderes de $x$ son impares, y esto justifica el nombre, pero hay otros ejemplos, como $\sin(-x)=-\sin(x)$ todos los $x$, lo $\sin$ es una función impar.
La gráfica de cada función par es simétrica alrededor de la $y$-eje. Esto es algo que se puede demostrar, usando la definición. En efecto, si el punto de $(x,f(x))$ está en la gráfica, así que es el punto de $(-x,f(x))=(-x,f(-x))$,
pero $(x,f(x))$ $(-x,f(x))$ son simétricas respecto a la $y$-eje.
Como, en el gráfico de $y=x^2$ es simétrica alrededor de la $y$ eje, y así es la gráfica de $y=\cos x$.
La gráfica de cada función impar es simétrica respecto al origen. Esto es algo que se puede demostrar, usando la definición. En efecto, si el punto de $(x,f(x))$ está en la gráfica, así que es el punto de $(-x,-f(x))=(-x,f(-x))$,
pero $(x,f(x))$ $(-x,-f(x))$ son simétricas con respecto al origen.
Como, en el gráfico de $y=x^3$ es simétrica respecto al origen, y así es la gráfica de $y=\sin x$.
Por último, hay funciones que no son ni siquiera ni impar. Generalmente eso pasa cuando uno mezcla (aditiva) potencias pares e impares de $x$, como en $p(x)=x^3-5x^2$. Aquí $p(1)=-4$$p(-1)=-6$. Por eso, $p(-1)\not=p(1)$ e esta función $p$ no es uniforme. Pero también tenemos $-p(1)=-(-4)=4$$4\not=-6$$p(-1)\not=-p(1)$, por lo que esta no es una función impar. Así, no es así.
Una manera alternativa de ver esto, si para empezar con $p(-x)$ y ver si se obtiene $p(x)$ (en ese caso $p$ sería aún), o se obtiene $-p(x)$
(en ese caso $p$ sería extraño), o uno no obtiene los $p(x)$ ni $-p(x)$.
En este ejemplo, $p(-x)=(-x)^3-5(-x)^2 = -x^3-5x^2$ que es diferente de ambos
$p(x)=x^3-5x^2$ e de $-p(x)=-x^3+5x^2$, lo $p$ no es ni una siquiera, ni una función impar.
Otros ejemplos de funciones que no son ni, incluso, no extraña se $2-\sin(x)$$x+\cos(x)$. Por otro lado $\dfrac{x^2-1}{x^3}$ es impar, independientemente de que podemos mezclar potencias pares e impares, porque esta vez no nos sumar/restar, sino miltiply/dividir (el numerador sólo tiene incluso poderes, y el denominador sólo tiene impar poderes). Usted puede usar la definición para verificar (es decir, demostrar) que $\dfrac{x^2-1}{x^3}$ es de hecho una función impar. Usted también puede tratar de averiguar cosas como si el producto de dos funciones impares es par o impar (es), y si el producto de una función impar y una función par es par o impar.
Estoy tratando de subir algunas imágenes, pero mi ordenador va muy lento. ¿Tenga en cuenta: $$f(x)=\sin(x)$$ If you were to do $$f\big({\pi\over2}\big)=\sin\big({\pi\over2}\big)$$ and also were to do $$f\big(-{\pi\over2}\big)=\sin\big(-{\pi\over2}\big)$$ you could see that $$f\big({\pi\over2}\big)=1\ \text{and} \ f\big(-{\pi\over2}\big)=-1$$ So $$f({\pi\over2})=-f(-{\pi\over2})$$ making it an odd function. You could do the same argument for even functions using $$f(x)=\cos(x)$ $ hace eso cualquier ayuda?
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