Deje $X$ ser un suave proyectiva variedad (por ejemplo, Grassmannians). Desde $X$ es suave, los grupos de $G_0(X):=K_0(CohX)$$K_0(X):=K_0(VectX)$, los grupos de Grothendieck coherente de las poleas de los módulos de $X$ y el grupo de Grothendieck de vector de paquetes en $X$, son isomorfos.
Mi pregunta, cuando es $K_0(X)$ libre? Por ejemplo, para el espacio proyectivo de dimensión $n$, este grupo es libre y de rango $n$.
Incluso para curvas elípticas esto no es cierto, por ejemplo hay línea de paquetes de $\mathcal{L}$ cuyo cuadrado es la estructura de la gavilla (de hecho, estos son clasificados por un étale cohomology grupo, por lo que hay algunos interesantes matemática aquí). No soy experto, pero creo que este tipo de cosas pueden suceder ampliamente en general.
Un interesante caso de que esto no suceda es al $X$ tiene un "afín a la estratificación", es decir, una descomposición $X = \bigsqcup X_i$, donde cada una de las $X_i$ es un espacio afín $\mathbb{A}^{n_i}$, y el cierre de cada una de las $X_i$ es una unión de otros $X_i$'s. Este es el caso de los espacios proyectivos, Grassmannians, la bandera de variedades, y los productos y las imágenes ampliadas de ellos, por lo que un buen número de común (aunque simple) espacios. En esta configuración, $K_0(X)$ es de libre generado por las clases de la estructura de las poleas $\mathcal{O}_{\overline{X_i}}$.
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