¿Cómo se puede calcular este límite?

Question

Calcular el siguiente límite. $$ \lim_{x\to 0} x\left\lfloor\frac{1}{x}\right\rfloor $$ Donde $\left\lfloor x \right\rfloor$ representa el mayor entero de la función o la función del suelo, me.e mayor entero menor o igual a $x$.

Gracias.

Answer 1

En el caso de $[x]$ está destinado a ser una parte entera de $x$, usted tiene $$ \lim_{x\to 0}x\left[\frac1x\right] = \lim_{y\to\infty}\frac{[y]} de{y} = \lim_{y\to\infty}\frac{y -\{y\}}y = 1. $$

Answer 2

Si $\frac1x=n+y$ donde $n$ es cualquier entero y $ 0\le y<1,\implies \left[\frac1x\right]=n$

Por eso, $x \left[\frac1x\right]=\frac n{n+y}=\frac1{1+\frac yn}$

Como $x\to 0$ $ 0\le y<1, n\to\infty\implies \lim_{x\to 0}x \left[\frac1x\right]=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+\frac yn}=1$

Answer 3

Uso básico de la desigualdad concerniente a la parte entera $$\frac{1}{x}\leq [\frac{1}{x}]\leq \frac{1}{x}+1$$

\begin{align} 1 \leq x[\frac{1}{x}]\leq 1+x \,\mathrm{if}\, x>0\\ 1\geq x[\frac{1}{x}]\geq 1+x \,\mathrm{if}\, x<0 \end{align} Así que por el teorema del sándwich $$\lim _{n\rightarrow 0}x[\frac{1}{x}]=0$$

Answer 4

Si $[x]$ medios de piso (generalmente señaló $\lfloor x \rfloor$), usted tiene que $\lfloor x \rfloor = -1$ si $-1 \le x < 0$, mientras que $\lfloor x \rfloor = 0$ al $0 \le x < 1$. El límite no puede existir.