Encontrar la cardinalidad de un conjunto

Question

Tengo que construir un par de cosas antes de llegar a mi pregunta: es posible que no necesite todos, pero yo estoy atascado en el último paso, así que debe recapitular todo lo hasta ahora.

Deje $\kappa$ ser un singular cardenal con $\operatorname{cf}\kappa = \lambda > \omega$, y deje $T \subseteq \mathcal{P}(\kappa)$. Definir $T\upharpoonright_{\alpha} := \{a \cap \alpha \mid a \in T \}$. Deje $C = \langle \alpha_{\xi} \mid \xi < \lambda \rangle$ ser estrictamente creciente secuencia continua de cardenales con el límite de $\kappa$.

Supongamos, asimismo, que los $\alpha < \kappa \implies \alpha^{\lambda} < \kappa$, y que el conjunto $\{ \alpha < \kappa : | T\upharpoonright_{\alpha} | \le \alpha\}$ es estacionaria en $\kappa$.

Ahora, el conjunto $S = \{ \xi < \lambda : | T\upharpoonright_{\alpha_{\xi}} | \le \alpha_{\xi} \}$ es estacionaria en $\lambda$, fundamentalmente por la hipótesis. Así, para cada $\xi \in S$, podemos definir un uno-a-uno la función $f_{\xi} : T\upharpoonright_{\alpha_{\xi} } \to \alpha_{\xi}$, y para cada una de las $a \in T$, definir $g_a (\xi) = f_{\xi}(a \cap \alpha_{\xi} )$.

Si definimos $S_0$ a ser los elementos de $S$, que es el límite de los números ordinales, a continuación, $g_a(\xi) < \alpha_{\eta}$ algunos $\eta < \xi$ por la continuidad de $C$, así que vamos a $h_a(\xi)$ ser el menos $\eta$. Desde $S_0$ es inmóvil, y $h_a: S_0 \rightarrow \lambda$ es regresivo, por Fodor del Teorema $h_a$ es constante en un conjunto estacionario. En otras palabras, para cada una de las $a \in T$, hay algunos $S_a$ estacionaria $\subset S_0$ $\eta(a) < \lambda$ tal que $h_a$ está en constante $\eta(a)$$S_a$.

Deje $(S',\eta')$ ser una pareja con $S' \subseteq S_0$ estacionaria en $\lambda$, e $\eta' < \lambda$. Definir $T' = \{ a \in T \mid S_a = S' \wedge\ \eta(a) = \eta'\}$. Mi objetivo es mostrar que la $|T'| \le \kappa$. Debido a $\large a \in T' \implies g_a ( \xi) < \alpha_{\eta '}$ todos los $\xi \in S'$, debemos tener la $\large| T' \upharpoonright_{\alpha_{\xi}}|\le \alpha_{\eta '}$ todos los $\xi \in S$. Ahora aquí está la parte que no entiendo.

"Así, para cada $a,b \in T$$a \not = b$, entonces las secuencias de $\langle a \cap \alpha_{\xi} \mid \xi \in S' \rangle$ $\langle b \cap \alpha_{\xi} \mid \xi \in S' \rangle$ son distintos, y por lo tanto,$\large |T ' | \le (\alpha_{\eta '} ) ^{\lambda}$."

Ahora no estoy seguro de cómo comprobar nada en esa frase. ¿Cómo puedo mostrar las secuencias son distintos? Y ¿cómo realizar la declaración final? Creo que tiene algo que ver con la cardinalidad de los subconjuntos de a $\large\alpha_{\eta '}$ del tamaño de la $\lambda$ , porque creo que tiene cardinalidad $\large( a_{η'} )^λ$ . Cualquier ayuda se agradece, mucho (porque significa que puede terminar resultando de Plata del Teorema :).

Answer 1

Si $a,b\in T$$a\ne b$, hay algunos $\zeta\in\kappa$ que pertenece a exactamente uno de $a$ y $b$. $C$ es cofinal en $\kappa$, por lo que hay algunos $\xi\in\lambda$ tal que $\zeta<\alpha_\xi$, y de ello se sigue que $a\cap\alpha_\xi\ne b\cap\alpha_\xi$. Cualquier $\xi'\in\lambda\setminus\xi$ funciona igual de bien, $\lambda\setminus\xi$ es cofinal en $\lambda$, e $S'$ es estacionaria en $\lambda$, por lo que podemos asumir que $\xi\in S'$.

En particular, esto es cierto para los distintos $a,b\in T\,'$: si $a,b\in T\,'$, e $a\ne b$, hay un $\xi\in S'$ tales que, y por lo tanto, las secuencias de $\langle a\cap\alpha_\xi:\xi\in S'\rangle$ $\langle b\cap\alpha_\xi:\xi\in S'\rangle$ son distintos. Por otra parte, cada una de las funciones de $f_\xi$ es inyectiva, por lo $f_\xi(a\cap\alpha_\xi)\ne f_\xi(b\cap\alpha_\xi)$ siempre $a\cap\alpha_\xi\ne b\cap\alpha_\xi$, y por lo tanto las secuencias $$\Big\langle f_\xi(a\cap\alpha_\xi):\xi\in S'\Big\rangle=\Big\langle g_a(\xi):\xi\in S'\Big\rangle$$ and $$\Big\langle f_\xi(b\cap\alpha_\xi):\xi\in S'\Big\rangle=\Big\langle g_b(\xi):\xi\in S'\Big\rangle$$ are distinct. Finally, $g_a(\xi)<\alpha_{\eta\,'}$ for all $\T\,'$ and $\xi\in S$, por lo que el mapa

$$T\,'\to{^{S'}\alpha_{\eta\,'}}:a\mapsto\Big\langle g_a(\xi):\xi\in S'\Big\rangle$$ is injective, and $|T\,'|\le \left|{^{S}\alpha_{\eta\,'}}\right|=(\alpha_{\eta\,'})^{\,|S'|}=(\alpha_{\eta\,'})^\lambda$.