Para ser más precisos, $A(p)=\min\{x:p\mid10^x-1\}$ Esto parece ser diferente de$φ(p)$, pero es siempre un factor de $φ(p)$. Por ejemplo, $A(37)=3=φ(37)/12$. Me gustaría obtener una clara forma de calcular el $A(p)$ o de una fórmula en términos de$φ(p)$, y otras funciones.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ennar
Puntos
1760
Lo que quiero saber es el orden de $10$$(\Bbb Z/p\Bbb Z)^\times$, grupo de invertible elementos en $\Bbb Z/p\Bbb Z$. Por desgracia, al mejor de mi conocimiento, no se conoce la fórmula para esto.
Sin embargo, usted correctamente di cuenta de que el fin de la $10$ siempre será un divisor de a $\varphi(p)$. Esto es consecuencia directa del teorema de Lagrange, el orden de un elemento de un grupo siempre divide al orden del grupo. Puesto que el orden de $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^\times$$\varphi(p)$, $10$ brecha $\varphi(p)$.
Para demostrar que esto no es trivial, voy a hacerlo de la otra manera, para que dado un número entero positivo $n$, voy a buscar todos los prime $p$ de manera tal que el orden de $10$$(\Bbb Z/p\Bbb Z)^\times$$n$:
$$\begin{array}{c | c} n & p\\\hline 1 & 3\\ 2 & 11\\ 3 & 37\\ 4 & 101\\ 5 & 41, 271\\ 6 & 7, 13\\ 7 & 239, 4649\\ 8 & 73, 137\\ 9 & 333667\\ 10 & 9091 \end{array}$$
Usted puede hacerlo usted mismo por factorización $10^n-1$.
