Demuestra que el subconjunto $D= \{(x,y)~|~x \ne 0, y \ne 0\}$ de que el avión está abierto

Question

$D= \{(x,y)~|~x \ne 0, y \ne 0\}$

Estoy pensando que puede demostrar que el conjunto es abierto para $x \gt 0$ $y \gt 0$ el uso de los discos. Tal vez yo podría hacer lo mismo para$x \lt 0$$y \lt 0$. Pero este proceso parece demasiado largo.

Answer 1

Considere la función $f(x,y)=xy$. Tenga en cuenta que $f^{-1}[\mathbb R\setminus \{0\}]=D$. Desde $\mathbb R\setminus \{0\}$ está abierto (lo cual es fácil de probar) y $f$ es continua, se sigue que $D$ está abierto.

Answer 2

No veo por qué no considerar el uso de abrir los discos que tomar mucho tiempo; dado cualquier $(a,b)\in D$, sólo muestran que el disco abierto centrado en $(a,b)$ radio $\frac{\min\{a,b\}}{2}$ está contenido en $D$.

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Aquí están algunos ejemplos; nota cómo que no se toquen los ejes, es decir,$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=0\text{ or }y=0\}$.

MyCircle[point_] := {RegionPlot[(x - point[[1]])^2 + (y - point[[2]])^2 <  
(Min[Abs[point[[1]]], Abs[point[[2]]]]/2)^2, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, 
PlotPoints -> 40, PlotStyle -> {Hue[SeedRandom[Floor[(point[[1]] + point[[2]])*
1000]^2]; RandomReal[]]}], ListPlot[{point}, PlotStyle -> Directive[Black,
PointSize[0.013]]]}

listofpoints = Select[RandomReal[{-1,1},{60,2}], Min[Abs[#[[1]]], Abs[#[[2]]]] 
> 0.04 &]; listofplots = {}; For[n = 1, n <= 30, n++, 
AppendTo[listofplots, Show[Plot[{}, {x, -1, 1}, Axes -> True, Ticks -> None, 
AspectRatio -> Automatic], Flatten[Map[MyCircle, Take[listofpoints, n]]]]]]; 
listofplots[[30]]

Export["animation.gif", listofplots, "DisplayDurations" -> {1}]

Answer 3

Tenga en cuenta que $$ \mathbb{R}^2\setminus D=\{(x,y)\;;\;x=0\;\mbox{o}\;y=0\}=f^{-1}(\{0\})\taza de g^{-1}(\{0\}) $$ donde $$ f:(x,y)\longmapsto x\qquad g:(x,y)\longmapsto y $$ son ambas continuas cualquier norma que pone en $\mathbb{R}^2$, ya que son lineales y $\mathbb{R}^2$ es finito-dimensional.

Ahora $\{0\}$ es fácilmente visible a ser cerrado en $\mathbb{R}$. Por lo $f^{-1}(\{0\})$ $g^{-1}(\{0\})$ son cerradas, por lo tanto $\mathbb{R}^2\setminus D$ es cerrado.

Por lo tanto $D$ está abierto.