Demostrar que la ecuación $3^k = m^2 + n^2 + 1$ tiene infinitas soluciones en números enteros positivos.

Question

Demostrar que la ecuación $3^k = m^2 + n^2 + 1$ tiene infinitas soluciones en números enteros positivos.

He comprobado que esto es cierto para la primera $k$ del 1 al 7, excepto el 3 y el 6.

He probado la manipulación algebraica y la inducción también y parece que no funciona. Creo que la inducción no funcionará ya que hay excepciones.

Si estoy en lo cierto, los números $m^2$ y $n^2$ sólo puede ser de la forma $3a+1$ .

¿Tiene alguna idea sobre cómo debo proceder con esto? Me gustaría recibir algunas pistas. Gracias.

Answer 1

EDITAR(ELABORACIÓN)

Tenga en cuenta que $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2 \tag{1}$$ Así, un producto de dos números que son una suma de $2$ cuadrados es también0 una suma de dos cuadrados.

RECLAMAR

Para todos $t \in \mathbb{N}$ tenemos que $3^{2^{t}}-1$ es una suma de dos cuadrados.

PROOF

Es cierto cuando $t=1$ desde $$3^{2}-1=2^2+2^2$$ Supongamos que es cierto cuando $t=a$ . Tenga en cuenta que para $t=a+1$ , $$3^{2^{a+1}}-1=\left(3^{2^a} -1 \right) \left(3^{2^a}+1 \right)$$ Por la hipótesis inductiva, $3^{2^a} -1 $ es una suma de dos cuadrados. También, $3^{2^a}+1$ es una suma de dos cuadrados de . Por lo tanto, la hipótesis inductiva es verdadera cuando $t=a+1$ de $(1)$ . Hemos terminado. El resultado es el siguiente, ya que $k=2^{t}$ .

Answer 2

Pista: Demuestre que si $a^2-1$ es una suma de dos cuadrados, entonces $a^{4}-1$ es una suma de dos cuadrados.

Por lo tanto, si $3^{2k}-1$ es la suma de dos cuadrados para algún $k$ entonces también lo es $3^{2^nk}-1$ para cualquier $n$ . (También puede probar si $3^{2k}-1$ es la suma de dos cuadrados, entonces también lo es $3^{k}-1$ .)

La pista dada por MXYMXY es justo el caso $k=1$ .

El caso $k=5$ también tiene esta propiedad, porque $$3^{10}-1=(3^5-1)(3^5+1)=8 \cdot 11^2\cdot 61=(11\cdot 22)^2 + 22^2$$ es la suma de dos cuadrados. Así que $3^{5\cdot 2^n}-1$ es siempre la suma de dos cuadrados.