En $$\sum_{x \in [0,1]} e^x,$$ $e^x$ se suma sobre todos los valores del intervalo $[0,1]$ .
¿Estoy en lo cierto al decir que $$\sum_{x \in [0,1]} e^x = \int^{x=1}_{x=0} e^x \, \mathrm dx?$$
Ya que nadie ha escrito todavía sobre esto, permíteme mencionar que esta suma representa efectivamente una integral, pero no la integral que tú pensabas. En concreto, para cualquier set $X$ y cualquier función $f:X\to\Bbb R$ $$ \sum_{x\in X}f(x) = \int_Xf(x)\mu(\mathrm dx) $$ donde $\mu$ es el medida de recuento . En su caso $X = [0,1]$ y, en cambio, pensó en integrarse con una Medida de Lebesgue $\lambda$ que, por supuesto, es diferente de la del recuento, por lo que $$ \sum_{x\in[0,1]} f(x) = \int_{[0,1]}f(x)\mu(\mathrm dx)\neq \int_{[0,1]}f(x)\lambda(\mathrm dx) $$ en general. En particular, la desigualdad no se cumple para $f(x) = \exp (x)$ como lo demostraron otras respuestas.
De hecho, ambas integrales sólo coinciden (siendo finitas) si ambas son cero. En efecto, si la integral de recuento es distinta de cero y finita, entonces $f$ sólo toma un número contable de valores distintos de cero, pero entonces la integral de Lebesgue es cero. A la inversa, si la integral de Lebesgue es distinta de cero, entonces $f$ toma un número incontable de valores, por lo que la integral de conteo es indefinida o infinita.
No, no son iguales; la suma de incontables números positivos es necesariamente infinita mientras que la integral $$\int_0^1\exp(x)\,dx=e-1$$ es finito.
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