Demostrando $\ln \lambda = \int_0^\infty \frac{\mathrm dt}t e^{-\lambda t}$

Question

Actualmente estoy leyendo este documento. En la página 5, se escribe:

Para cada uno positivo autovalor $\lambda$ del operador $D$ podemos escribir una identidad $$\ln \lambda = \int_0^\infty \frac{\mathrm dt}t e^{-\lambda t}.\tag{1.17}$$ Esta identidad es "correcto" para una constante infinita, que no depende de la $\lambda$ y, por lo tanto, puede ser ignorado en lo que sigue. Ahora vamos a utilizar $\ln \det(D)=\mathrm{Tr}\ln(D)$ y extender $(1.17)$ a la

No puedo demostrar esta identidad. He intentado $$\int_0^{\infty} \frac{\mathrm dt}{t}e^{-t\lambda}=\int_0^{\infty} \frac{\mathrm d(\lambda t)}{(\lambda t)}e^{-t\lambda}=\int_0^{\infty} x^{-1}e^{-x}\ \mathrm dx=\Gamma(0),$$ donde fort la tercera igualdad, he utilizado la definición de la función Gamma.

Answer 1

Otro enfoque es el de identificar de manera explícita lo que el autor denomina una constante infinita. Esto equivale a encontrar un adecuado (aunque no único) de la regularización, y en este caso podemos hacer de la siguiente manera:

$$ \int_{0}^{\infty} \left( \frac{\mathrm{e}^{-\lambda t}}{t} - \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t} \right) \, \mathrm{d}t = \log \lambda. \tag{*}$$

Ahora bien, este es un ejemplo por excelencia de lo que se llama Frullani integral. La diferenciación de-bajo-la-integral-signo truco funciona a la perfección con esta regularización que lleva a la identidad de $\text{(*)}$.

Answer 2

Echa un vistazo a la nota de pie de página $4$ en el papel. Esto no pretende ser una identidad, ya que $e^{-\lambda t}/t \sim 1/t$ $t \to 0$ y la integral diverge.

Tenga en cuenta que si usted diferenciar la LHS, consigue $\frac{1}{\lambda}$. Si tomamos la derivada con respecto al $\lambda$ dentro de la integral de la RHS, también te $$-\int_0^\infty \frac{1}{t} \frac{d}{d\lambda} e^{-\lambda t} \, dt = \int_0^\infty -e^{-\lambda t} = \frac{1}{\lambda}.$$

Así que los "derivados" en ambos lados es la misma, lo que significa que ambos lados "sólo difieren por una constante infinita". La manera en que yo lo entiendo, esto es sólo una heurística para derivar la ecuación (1.18), que se han probado rigurosamente más adelante en la sección 2.2.