¿Cuál es la forma más sencilla de generar $\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$?

Question

Estoy buscando una forma de generar el grupo de $\mathrm{GL}(n,\mathbb Z)$. ¿Alguien tiene una idea? La intención de mi pregunta es que estoy buscando una fácil prueba de la existencia de la epimorphism:

$\Phi:\mathrm{Aut}(F_n )\to \mathrm{Aut}(F_n/[F_n,F_n])=\mathrm{Aut}(\mathbb {Z}^n)=\mathrm{GL}(n,\mathbb {Z})$

Sé que $\Phi$ es un canónica homomorphism desde el colector de subgrupo es característico en $F_n$. Así que tengo algunas buenas generadores de $\mathrm{GL}(n,\mathbb {Z})$ encontrar su preimages en $\mathrm {Aut}(F_n)$ a probar el surjectivity de $\Phi$.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

James ha identificado correctamente las matrices elementales como la generación de GL(n,ℤ). Me gustaría hablar de la razón por la que desde el relevante hecho de que ℤ es un dominio Euclídeo no es capturada en el "de álgebra lineal" comentario en la respuesta anterior.

Para cualquier dominio Euclídeo R, GL(n,R) es generado por las matrices elementales. Esto se desprende de la prueba de la forma normal de Smith. Pero el que prueba? No es el habitual de uno que trabaja para una arbitraria principal ideal de dominio, pero más algorítmico versión válida para Euclidiana solamente dominios. Una presentación es en el Capítulo 58 de Richard Elman notas (www.math.ucla.edu/~chh/110ah.1.11 f/elman.pdf).

Answer 2

De álgebra lineal, sabemos que cada invertible la matriz puede ser obtenido a partir de la matriz identidad por una secuencia de operaciones elementales con sus filas. Las correspondientes matrices elementales por lo tanto generar el grupo lineal general. Ahora usted puede encontrar pre-imágenes en ${\mathrm Aut}(F_{n})$ considerando Nielsen transformaciones, que coinciden bastante directamente con los elementales de matrices.