demostrar que si $X\ge 0$ , $E(X)\le \sum_{n=0}^{\infty}P(X>n)$.

Question

si $X$ es una variable aleatoria y también le $X\ge 0$ , quiero mostrarles $E(X)\le \sum_{n=0}^{\infty}P(X>n)$.

Answer 1

Espectáculo $X \le \sum_{n=0}^\infty I_{X > n}$. Nota el lado derecho no es más que $\text{ceil}(X)$, en donde el "techo" o "techo" significa redondear al siguiente número entero.

Answer 2

Supongamos que la variable aleatoria $X$ toma valores en $\left\{ 0,1,2,\ldots\right\} $, entonces:

$$E\left[X\right]=\sum_{k=1}^{\infty}kP\left\{ X=k\right\} $$

$$=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{k}P\left\{ X=k\right\} $$

$$=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}P\left\{ X=k\right\} $$

$$=\sum_{n=1}^{\infty}P\left\{ X\geq n\right\}$$

$$=\sum_{n=0}^{\infty}P\left\{ X>n\right\} $$

Así que incluso tienen $=$ en lugar de $\leq$.