Pregunta sobre las frases existenciales

Question

Una frase se llama existencial si es de la forma $\exists x_1 \ldots \exists x_n \ \phi(x_1, \ldots, x_n)$ , donde $\phi$ está libre de cuantificadores.

Sabemos que (véase Chang-Keisler "Model Theory", Proposition 5.2.2)

Teorema. Si cada frase existencial que se mantiene en $\mathfrak{A}$ también se mantiene en $\mathfrak{B}$ entonces $\mathfrak{A}$ es isomórficamente incrustado en alguna extensión elemental de $\mathfrak{B}$ .

Supongamos que tenemos una teoría $T$ tal que todos sus modelos coinciden en las sentencias existenciales. Por el teorema anterior, partiendo de dos modelos $\mathfrak{A}, \mathfrak{B} \models T$ podemos demostrar que para cualquier $n > 0$ , $\mathfrak{A}$ es $n$ -sangrado por el modelo $\mathfrak{B}$ . Para ver esto, observe que como $\mathfrak{B} \models T$ y todos los modelos de $T$ coinciden en las oraciones existenciales, tenemos que $\mathfrak{B}$ puede ser incrustado isomórficamente en alguna extensión elemental $\mathfrak{A}_0$ de $\mathfrak{A}$ . Esto significa que $\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{A}_0$ . Ahora $\mathfrak{A}_0 \models T$ , ya que $\mathfrak{A} \models T$ y $\mathfrak{A} \prec \mathfrak{A}_0$ . Así que $\mathfrak{A}_0$ puede ser incrustado isomórficamente en alguna extensión elemental $\mathfrak{B}_1$ de $\mathfrak{B}$ . Así que tenemos $\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{A}_0 \subseteq \mathfrak{B}_1$ . Podemos seguir así durante infinitos pasos.

¿Es este argumento erróneo? Si no lo es, ¿significa esto que toda teoría $T$ tal que todos sus modelos coinciden en las sentencias existenciales, es también $\Pi_2$ (y en realidad incluso $\Pi_{2n}$ ) completa? ¿No satisface ZFC la condición anterior como $T$ ?

Nota : Teorema (añadido). (Proposición 5.2.5 de Change-Keisler) Si hay modelos $\mathfrak{A}', \mathfrak{B}'$ tal que $\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{A}' \subseteq \mathfrak{B}'$ , $\mathfrak{B} \prec \mathfrak{B}'$ y $\mathfrak{A} \prec \mathfrak{A}'$ entonces cada $\Pi_2$ sentencia que se mantiene en $\mathfrak{A}$ también se mantiene en $\mathfrak{B}$ .

Answer 1

Veo un problema en su argumento. Cuando dice que $\mathfrak A_0$ se puede incrustar en una extensión elemental de $\mathfrak B$ significa que hay una extensión elemental $\mathfrak B_1$ de $\mathfrak B$ y una incrustación $f : \mathfrak A_0 \to \mathfrak B_1$ . Entonces usted dice que podemos identificar $\mathfrak A_0$ con $f(\mathfrak A_0)$ y obtener $\mathfrak B \subseteq \mathfrak A_0 \subseteq \mathfrak B_1$ . El problema es que no sabes qué $f$ hace a $\mathfrak B$ . En otras palabras $f(\mathfrak B)$ podría no ser una subestructura elemental de $\mathfrak B_1$ .