Es la suma de singular y nonsingular matriz siempre un nonsingular de la matriz?

Question

Si $A$ $B$ están en singular y nonsingular respectivamente, donde ambos son cuadrados, es $A+B$ siempre nonsingular?

Answer 1

No es verdad, incluso para los positivos matrices: $$\begin{pmatrix}1 & 1\\2 & 2\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}3 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4 & 3\\4 & 3\end{pmatrix}.$$

Answer 2

No. Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Entonces:

• $A$ es regular.
• $B$ es singular.
• $A + B = \binom{2\,0}{0\,1}$ es regular.
• $A - B = A+(-B) = \binom{0\,0}{0\,1}$ es singular.

Answer 3

Déjenme decirles una forma particular de generar un montón de ejemplos. Encontraremos $A$ tal que $A +I$ va a ser singular. Usted puede fácilmente adaptar este método a utilizar con cualquier no-singular de la matriz en lugar de la identidad. Vamos a trabajar hacia atrás para conseguir soluciones.

Tome una matriz con dos filas iguales como $A+I$. Esto le da la condición de que $$A+\pmatrix{1 &0&0\cr0&1&0\cr 0&0&1\cr}=\pmatrix{a & b &c \cr a &b & c\cr * & * & *\cr}$$ Primeras dos filas de la $A$ son forzados. Para garantizar la singularidad de $A$ hacer que la última fila idéntica a la 2ª fila:

$$\pmatrix{a-1 & b& c\cr a &b-1 & c\cr a & b-1 & c} +\pmatrix{1 &0&0\cr0&1&0\cr 0&0&1\cr}=\pmatrix{a & b &c \cr a &b & c\cr * & * & *\cr}$$ Ahora podemos trabajar hacia atrás para obtener los valores a ser utilizados en lugar de las estrellas: $$\pmatrix{a-1 & b& c\cr a &b-1 & c\cr a & b-1 & c} +\pmatrix{1 &0&0\cr0&1&0\cr 0&0&1\cr}=\pmatrix{a & b &c \cr a &b & c\cr a & b-1 & c+1\cr}$$ Now replace $a,b,c$ con su pin del CAJERO automático, su amigo de la edad, y su salario anual en Euros, respectivamente, se obtiene una solución.