Número de Independientes "de la Cruz-ratios o Anarmónicos-ratios"

Question

La Cruz-el ratio o el Anarmónicos-ratio se define como, $${r_{ij}r_{kl}}/{r_{ik}r_{jl}}, \text{ where } r_{ij}=\mod{r_i - r_j}.$$ Ahora el reclamo es: conformación de la simetría implica que para el cómputo de los $N$ punto de la función de correlación no se $N(N-3)/2$ número de independientes de la cruz-ratios.

Yo no puedo probar esta afirmación. He visto el Ginsparg la explicación de esta afirmación, pero yo no puede entender eso. Necesito la prueba. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

El número de $r_{ij}$'s $N(N-1)/2$. Un general monomio $\prod_{1\leq i<j\leq N} r_{ij}^{\mu_{ij}}$ es conformemente invariante si y sólo si $d_i = \sum_{j=1}^{i-1} \mu_{ji} + \sum_{j=i+1}^N \mu_{ij} =0$ todos los $i=1,\ldots, N$. Este se $N$ ecuaciones. Así, obtenemos $N(N-1)/2-N=N(N-3)/2$ cruz-ratios.

Pero tenga en cuenta también si su dimensión es$D$, entonces la dimensión de la conformación del grupo es $(D+2)(D+1)/2$ y debido a la cruz, los cocientes de sí mismo sólo dependen de $D\cdot N$ variables y hay $(D+2)(D+1)/2$ limitaciones en el número de "algebraicamente independiente" variables pueden ser en realidad sólo $D\cdot N-(D+2)(D+1)/2$, es decir, si el número de la cruz proporciones es más grande que esta no se tiene que ser (complicado) las relaciones entre la cruz de los coeficientes. Esto se puede ver en el ejemplo de la $D=1$, véase el comentario de arriba.