La dependencia del potencial químico para el punto cero de energía

Question

El potencial químico se define como: $$ \mu = -T\frac{\partial{S(N,V,E)}}{\partial{N}} $$ A mí me parece que esto es completamente independiente de donde puedo poner el punto de referencia de la energía, debido a la diferencia de entropía es relevante (y también de la temperatura se define como una diferencia en la entropía).

Sin embargo, la de Fermi-Dirac distribución es: $$<n_r> = \frac{1}{exp(\beta(\epsilon_r-\mu))+1}$$

Pero si puedo cambiar el valor del punto de referencia de la energía, el valor de $<n_r>$ cambios, lo que provoca una contradicción. En mi libro acerca de la mecánica estadística, que el estado a pesar de que $\epsilon_r-\mu$ es independiente del punto de referencia de la energía, pero no veo por qué, porque se $\mu$ parece ser independiente, mientras que $\epsilon_r$ no parece independiente del punto de referencia.

Answer 1

Buena pregunta. Creo que estás incorrecto asumir que el potencial químico es independiente del punto cero.

Creo que es más fácil ver que el potencial químico debe cambiar mediante el uso de $\mu = (\partial U/\partial N)_{S,V}$. Supongo que primero definir el punto cero como 0, por lo que la energía es $U(N)$. Entonces me redefinir la energía de punto cero (para una partícula) como $\epsilon_0$, por lo que el $U' = U + N\epsilon_0$. Ahora,

\begin{equation} \mu' = \left(\frac{\partial U'}{\partial N}\right)_{S',V} = \left(\frac{\partial U}{\partial N}\right)_{S,V} + \epsilon_0 = \mu + \epsilon_0 \end{equation}

Entonces si $\epsilon_r' = \epsilon_r + \epsilon_0$, usted tiene que $\epsilon_r' - \mu' = \epsilon_r - \mu$, es decir, la diferencia es independiente del punto cero.

De hecho, la fórmula $\mu = -T(\partial S/\partial N)_{U,V}$ no implica que el potencial químico es independiente del punto cero. Si cambia la energía de punto cero, se debe ajustar la forma de $S$ respectivamente. Por ejemplo, usted necesita tener $S(U=0) = S'(U' = N\epsilon_0)$ y para ver que $S'$ es diferente que $S$.