En los ejemplos que he visto para resolver una integral infinita de $-\infty$ a $\infty$ utilizando la integración de contorno, el eje real pasa a formar parte del contorno de integración en el plano complejo, y se utiliza el método de los residuos. Publicado aquí es un ejemplo de transformación de la recta real en una circunferencia unitaria en el origen complejo mediante transformaciones de Möbius. Se utiliza el método de los residuos. No he visto este método antes. ¿Puede alguien indicarme la bibliografía sobre este método?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
QuentinUK
Puntos
116
Este método se aplica siempre que se cumplan estas condiciones:
- $f$ es una función meromorfa en una vecindad del plano (cerrado) medio-superior o medio-inferior, que no tiene polos a lo largo del eje real, y
- viendo el dominio de $f$ como un conjunto abierto de $\mathbf P^1$ entonces $f$ se extiende holomórficamente a $\infty$ .
Entonces podemos calcular la integral utilizando el teorema del residuo. La razón es que el semiplano superior (o inferior) completado es conforme al disco unitario cerrado a través de un automorfismo adecuado de $\mathbf P^1$ (dada por una transformación de Möbius). Por ejemplo, está claro que $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|\leq 1$ si $z$ se encuentra en el plano medio superior, porque $z$ está más lejos de $-i$ que de $i$ ; la igualdad se produce precisamente a lo largo de la línea real (dibujar un triángulo). Por lo tanto, por el retroceso, $f$ puede verse como una función meromorfa en una vecindad del disco unitario cerrado, que no tiene polos a lo largo del círculo unitario. En particular, se aplica el teorema del residuo, y por la regla de la cadena, la integral resultante a lo largo del círculo unitario es igual a la integral del original $f$ a lo largo de la línea real (se pierde el punto $\infty$ pero esto no cambia la integral porque $\{\infty\}$ tiene medida cero).
En su ejemplo, la función $\frac{1}{1+z^2}$ es meromorfa en todo $\mathbf P^1$ y holomorfo en $\infty$ . Por tanto, se aplica el teorema del residuo.
