Curva algebraica de grado 3 con un punto triple

Question

El siguiente problema apareció en un examen que tuve ayer. No pude resolverlo, pero me gustaría saber la solución.

Dejemos que $k$ sea algebraicamente cerrado, y que $f\in k[X,Y]$ sea un polinomio con $\deg f = 3$ . Supongamos que $V(f)\subseteq \mathbb{A}^2$ tiene un punto triple $p$ . Demostrar que $V(f)$ es reducible.

Finalmente, tras una transformación afín, podemos suponer que $p=(0,0)$ Entonces cada monomio en $f$ tiene dimensión 3, por lo que $f=aX^3+bX^2Y+cXY^2+dY^3$ es homogénea, lo que significa que $V(f)$ es un conjunto de líneas que pasan por el origen. Si miramos la proyección sobre $P^1$ obtenemos $V(f)\subseteq \mathbb{A}^1=V(aX^3+bX^2+cX+d)$ para los puntos a distancia finita, que es una colección de a lo sumo 3 puntos disticos. Sin embargo, ¿cómo podemos excluir el caso en que $f(X,1)$ tiene una raíz triple, digamos en $X=x_0$ , en cuyo caso $V(f)$ es un único rayo que pasa por el origen y $(x_0,1)$ ? Entonces, $f(X,1)=a(X-x_0)^3$ así que $b=3x_0,c=3x_0^2$ y $d=x_0^3$ .

Y aquí estoy atascado. Agradecería una pista para llevar esto a casa.

Answer 1

(Convirtiendo mi comentario en una respuesta...)

De acuerdo, ahora entiendo el punto - lo siento por mi torpeza anterior.

La cuestión es que la situación que describes no puede darse. Si $f$ es el cubo de una forma lineal $l$ que es lo que ocurre en el caso que se quiere excluir, entonces $V(f)=V(l)$ no lo hace tienen un punto triple en el origen. En efecto, decir que $V(f)$ tiene un punto triple (para $f$ de grado 3) implica en realidad que $f$ debe reducirse, porque de lo contrario $V(f)=V(g)$ para algunos $g$ de grado inferior a 3.