Ecuación de Diophantine $x^2 + y^2 = z^3$

Question

He encontrado todas las soluciones de la ecuación de Diophantine $x^2 + y^2 = z^3$ cuando $z$ es impar. Estoy teniendo algunas dificultades para la búsqueda de soluciones al $z$ es incluso. Estoy pidiendo una prueba de que proporciona las soluciones donde $z$ es incluso. Quiero la prueba de primaria y el uso sólo de la teoría de números y quizás Cálculo o ideas básicas acerca de los grupos y anillos.

Answer 1

Lamentablemente, no hay (aparentemente) un polinomio de la parametrización

$$x^2+y^2 = z^k\tag1$$

al $k>2$. Para $k=2$, la solución completa es,

$$x,\,y,\,z = (a^2-b^2)s,\; (2ab)s,\; (a^2+b^2)s$$

donde $s$ es un factor de escala. El uso de números complejos $a+b i$, se puede generalizar el método. Para $k=3$, es

$$x,\,y,\,z = (a^3 - 3a b^2)s^3,\; (3a^2 b - b^3)s^3,\; (a^2+b^2)s^2\tag2$$

pero usted no puede encontrar racional $a,b,s$ a determinadas soluciones. Por ejemplo,

$\hskip2.7in$ $9^2+46^2 = 13^3\quad$ Sí

$\hskip2.7in$ $58^2+145^2=29^3\quad$ No

(Puede hacer clic en el Sí/No enlaces para Walpha de salida.) Una discusión relacionada con el se pueden encontrar en este post , mientras que un método alternativo que se describe aquí. Para el caso de $k=3$ si $a^2+b^2=c^3$, luego de un infinito más se pueden encontrar,

$$(u^3 + 3 b u^2 v - 3 u v^2 - b v^3)^2 + (b u^3 - 3 u^2 v - 3 b u v^2 + una v^3)^2 = c^3(u^2+v^2)^3\tag3$$

que debe ofrecer algunas soluciones no están cubiertos por $(2)$.

Answer 2

Fermat dos plazas teorema dice exactamente lo que los enteros $n$ puede ser escrito como la suma de dos cuadrados, y de hecho puede ser constructiva, con un procedimiento para encontrar a todas las representaciones. Recomiendo la aplicación de la que se conoce el procedimiento a $n=z^3$. Yo no creo que haya una significativamente la manera más fácil; por ejemplo, ya se al $z$ es una de alta potencia de $5$ (o el doble de un alto poder de $5$), hay muchas representaciones.

Answer 3

Jugando con los grados y de los coeficientes indeterminados, tratamos de resolver $$r^2(\alpha r^2+\beta s^2)^2+s^2(\gamma\space r^2+\delta s^2)^2=(\lambda r^2+\mu s^2)^3$$ en el fin de conseguir una identidad como para las ternas pitagóricas.

Operativo, $$\alpha^2 r^6+(2\alpha \beta+\gamma^2)r^4s^2+(\beta^2+2\gamma \delta)r^2s^4+\delta^2 s^6=(\lambda r^2+\mu s^2)^3$$

Vemos conveniente, a primera vista, tome $\alpha^2=\delta^2=1$, de modo que $$\pm2\beta+\gamma^2=\beta^2\pm2\gamma=3$$ Finalmente tomamos los valores de $$(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\lambda,\mu)=(1, -3, 3,-1, 1, 1)$$ un disponemos de obtener la identidad $$ [r(r^2-3s^2)]^2+[s(3r^2-s^2)]^2=(r^2+s^2)^3$$ A partir de la cual una infinidad de soluciones.

Answer 4

de la ecuación: $\left( {p}^{2}+{k}^{2}\right) \,{z}^{2}={y}^{2}+{x}^{2}$

$(-2\,a\,b\,p-{b}^{2}\,k+{a}^{2}\,k,\left( {a}^{2}-{b}^{2}\right) \,p+2\,a\,b\,k,{b}^{2}+{a}^{2})$ $(2\,a\,b\,p-{b}^{2}\,k+{a}^{2}\,k,\left( {a}^{2}-{b}^{2}\right) \,p-2\,a\,b\,k,{b}^{2}+{a}^{2})$

si $z={p}^{2}+{k}^{2}$

${\left( {p}^{3}+{k}^{2}\,p\right) }^{2}+{\left( k\,{p}^{2}+{k}^{3}\right) }^{2}={\left( {p}^{2}+{k}^{2}\right) }^{3}$

${\left( {p}^{3}-3\,{k}^{2}\,p\right) }^{2}+{\left( 3\,k\,{p}^{2}-{k}^{3}\right) }^{2}={\left( {p}^{2}+{k}^{2}\right) }^{3}$

Answer 5

Generalmente una vista. http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1124891_almost_pythagoras http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1049554__

Usted puede escribir la solución en este formulario. http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1054060_cubes_with_squares

http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1048815___ http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1047876____

Pero normalmente se utiliza el estándar de enfoque simple. En la ecuación.

$$X^2+Y^2=Z^3$$

$$X=ab+cd$$

$$Y=cb-ad$$

Y recibir de registro.

$$(a^2+c^2)(b^2+d^2)=Z*Z^2$$

$$b^2+d^2=Z^2$$

$$Z=a^2+c^2$$

Así.

$$d=a^2-c^2$$

$$b=2ac$$

A continuación, la decisión sobre el registro.

$$X=3ca^2-c^3$$

$$Y=3ac^2-a^3$$

$$Z=a^2+c^2$$